Loesungsmengen von LGS < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Do 14.02.2008 | | Autor: | Maaadin |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Loesungsmengen
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 3
[mm] x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] = 6 |
Erstmal hallo zusammen! =)
Also, wie die Aufgabenstellung schon sagt, soll ich von diesem LGS die Loesungsmenge bestimmen. Nur versteh ich nicht genau, wie ich vorgehen soll. Hierbei handelt es sich ja um Gleichungen 3. Grades, wobei ich aber nur 2 Gleichungen habe. ICh koennte bei der 2. Gleichung zwar das [mm] $x_1$ [/mm] substituieren, doch wie geh ich dann vor? Muss ich die Loesungsmenge in Abhaengigkeit von [mm] $x_2$ [/mm] und [mm] $x_3$ [/mm] angeben?
Veilen Dank im voraus!
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Do 14.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie die Loesungsmengen
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> [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] = 3
> [mm]x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] + [mm]3x_3[/mm] = 6
> Erstmal hallo zusammen! =)
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> Also, wie die Aufgabenstellung schon sagt, soll ich von
> diesem LGS die Loesungsmenge bestimmen. Nur versteh ich
> nicht genau, wie ich vorgehen soll. Hierbei handelt es sich
> ja um Gleichungen 3. Grades, wobei ich aber nur 2
> Gleichungen habe. ICh koennte bei der 2. Gleichung zwar das
> [mm]x_1[/mm] substituieren, doch wie geh ich dann vor?
Hallo,
das mit dem Substituieren ist erstmal richtig (muss nicht unbedingt [mm] x_1 [/mm] sein, bietet sich aber an).
Dann hast du nur noch eine Gleichung mit den Variablen [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3. [/mm] Die kannst du nach einer der beiden Variablen (hier am besten [mm] x_2) [/mm] umstellen.
Jetzt hast du [mm] x_3 [/mm] mit Hilfe von [mm] x_2 [/mm] ausgedrückt (und kannst mit [mm] x_2 [/mm] und dem durch [mm] x_2 [/mm] ausgedrückten [mm] x_3 [/mm] auch [mm] x_1 [/mm] ausdrücken).
Da aber eigentlich keine der drei Variablen gegenüber den anderen beiden zu bevorzugen ist, wählt man für [mm] x_2 [/mm] lieber einen "neutralen" Parameter t und drückt dann auch [mm] x_1 [/mm] un [mm] x_3 [/mm] mit Hilfe von [mm] t\in\IR [/mm] aus.
Viele Grüße
Abakus
> Muss ich die
> Loesungsmenge in Abhaengigkeit von [mm]x_2[/mm] und [mm]x_3[/mm] angeben?
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> Veilen Dank im voraus!
>
> Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Do 14.02.2008 | | Autor: | Maaadin |
Erstmal vielen Dank.
Aber, so richtig hab ich es immer noch nicht verstanden.
Also nachdem ich die 2. Gleichung substituiert habe, sehen meine beiden Gleichungen so aus:
[mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 3$ (1)
[mm] $x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = 3$ (2')
Also in der Matrix-Schreibweise:
[mm] \begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & x_3 & 3 \\
\ & x_2 & 2x_3 & 3 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
Nun, wenn ich es nach [mm] $x_2$ [/mm] umstelle, steht ja fuer die 2. Gleichung da:
[mm] $x_2 [/mm] = 3 - [mm] 2x_3$ [/mm] Dies waer nun meine (3) Gleichung.
[mm] $x_3$ [/mm] koennte man nun durch eine andere Variable ersetzen, nehmen wir dohc das vorgeschlagene $t$.
Demnach:
[mm] $x_2 [/mm] = 3 - 2t$ (3)
Nur, inwiefern hilft mir diese Gleichung?
Danke fuer Deine Hilfe!
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Hallo Maaadin,
> Erstmal vielen Dank.
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> Aber, so richtig hab ich es immer noch nicht verstanden.
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> Also nachdem ich die 2. Gleichung substituiert habe, sehen
> meine beiden Gleichungen so aus:
>
> [mm]x_1 + x_2 + x_3 = 3[/mm] (1)
> [mm]x_2 + 2x_3 = 3[/mm] (2')
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> Also in der Matrix-Schreibweise:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & x_3 & 3 \\
\ & x_2 & 2x_3 & 3 \\
\end{pmatrix}[/mm]
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> Nun, wenn ich es nach [mm]x_2[/mm] umstelle, steht ja fuer die 2.
> Gleichung da:
>
> [mm]x_2 = 3 - 2x_3[/mm] Dies waer nun meine (3) Gleichung.
> [mm]x_3[/mm] koennte man nun durch eine andere Variable ersetzen,
> nehmen wir dohc das vorgeschlagene [mm]t[/mm].
>
> Demnach:
>
> [mm]x_2 = 3 - 2t[/mm] (3)
>
> Nur, inwiefern hilft mir diese Gleichung?
Setze jetzt diese Gleichung (3) in Gleichung (1) ein und Du erhältst dann [mm]x_{1}[/mm] in Abhängigkeit von t.
Da jetz die Lösungsmenge bekannt ist, kann das so geschrieben werden:
[mm]L=\left\{ \ x \in \IR^3} \ | \ x \ = \ \dots \ + \ t \ \dots \ , t \in \IR \right\}[/mm]
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>
> Danke fuer Deine Hilfe!
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Do 14.02.2008 | | Autor: | Maaadin |
Aber natuerlich.....ja, ich stand etwas auf dem Schlauch.
Ich habe vergessen, bei der 1. Gleichung, das [mm] $x_3$ [/mm] durch ein $t$ zu ersetzen.
Ich werde es mal loese und dann spaeter hier zur Kontrolle eintragen.
Vielen Dank =)
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