Lösungsmenge einer Funktion < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Di 20.04.2010 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | | Von der Gleichung [mm] $x^4-2x^3+x^2+2x-2=0$ [/mm] ist [mm] $x_1=1-i$ [/mm] als Lösung bekannt. Berechnen Sie die übrigen Lösungen. |
Da wir das Thema neu anfangen haben, hat uns unser Prof. direkt ins kalte Wasser geworfen.
Leider weiß ich deswegen nichteinmal wie ich ansetzen soll.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 Di 20.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo boerny!
Wenn [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 1-i$ eine Lösung der Gleichung ist, gilt dies grundsätzlich auch für das entsprechende Komplex-Konjugierte: [mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] \overline{x_1} [/mm] \ = \ [mm] \overline{1-i} [/mm] \ = \ 1+i$ .
Damit kennst Du bereits zwei Linearfaktoren, in welche der Funktionsterm aufgespalten werden kann:
[mm] $$(x-x_1)*(x-x_2) [/mm] \ = \ [x-(1-i)]*[x-(1+i)] \ = \ [x-1+i]*[x-1-i] \ = \ [mm] (x-1)^2-i^2 [/mm] \ = \ [mm] (x-1)^2+1 [/mm] \ = \ [mm] x^2-2x+2$$
[/mm]
Führe nun folgende  Polynomdivision durch:
[mm] $$\left(x^4-2x^3+x^2+2x-2\right) [/mm] \ : [mm] \left(x^2-2x+2\right) [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
|
|
|
|
