Lösungsmenge des Gleichungssys < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Do 17.01.2008 | | Autor: | howtoadd |
| Aufgabe | Beschreiben Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems
(wobei x1, . . . , x5 reelle Zahlen sind).
x1 − x2 + x3 − x4 + x5 = +1
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = −1
−x1 − x2 + x3 + x4 + x5 = +1
x1 − x2 − x3 − x4 + x5 = −1 |
hallo nochmal an alle:)))
das thema gleichungssysteme ist mir klar, aber ich habe noch nie so eine aufgabe gesehen, wo alles nur aus x1, x2 usw besteht, wie löse ich das gleichungssytem hier denn auf?
ich wäre dankbar für jede kleine unterstützung!
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt
lieben gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Do 17.01.2008 | | Autor: | Sabah |
Hallo,
z.b
[mm] x_{1} [/mm] =1
[mm] x_{2} [/mm] =1
[mm] -234x_{2} [/mm] =-234
Kommen wir zu deinem Aufgabe.
x1 − x2 + x3 − x4 + x5 = +1
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = −1
−x1 − x2 + x3 + x4 + x5 = +1
x1 − x2 − x3 − x4 + x5 = −1
[mm] \Rightarrow
[/mm]
1 -1 1 - 1 1 = 1
1 1 1 1 1 = -1
-1 -1 1 1 1 = 1
1 - 1 -1 -1 1 = - 1
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@Tyskie
> So löst man kein Gleichungssystem!
Hallo,
es war zwar Sahbah etwas wortkarg, liegt aber nicht daneben:
Was er angegeben hat, ist die erweiterte Koeffizientenmatrix, welche völlig richtig ist.
Bringt man diese nun auf Zeilenstufenform, kann man dem das Ergebnis bequem entnehmen.
Das ist die Art und Weise, in welcher "man" ein Gleichungssystem per Hand lösen würde - vorausgesetzt, man beherrscht diese Methode.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 Do 17.01.2008 | | Autor: | Sabah |
Hallo nochmal, ich habe mit Gauß Elimination folgendes bekommen
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & (1)\\ 0 & 2 & 0 & 0& -2& (0) \\ 0 & 0 & 0& 2 & 2 & (-2)\\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0& (-2) }
[/mm]
ich glaube hier muss man für den [mm] x_{5}=0 [/mm] wählen
[mm] x_{4}=-1
[/mm]
[mm] x_{3}=1
[/mm]
[mm] x_{2}=0
[/mm]
[mm] x_{1}=1
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Do 17.01.2008 | | Autor: | howtoadd |
also, danke, jetzt weiß ich erstmal was "wobei x1,..x5 reele zahlen" aussagt...
wenn ich diese durch v,w,x,y,z ersetzen kann, dann müsste das ja so aussehen:
v − w + x − y + z = +1
v + w + x + y + z = −1
−v − w + x + y + z = +1
v − w − x − y + z = −1
also, für mich siehts jetzt übersichtlicher aus, dies könnte ich dann also in der erweiterten matrix schreibweise hinschreiben, sowi sabah es meinte, oder??
aber wenn ich das in zahlen schreibe, sieht es genauso aus wie bei sabah...
meine idee:
I. 1v − 1w +1 x − 1y + 1z = +1
II. 1v + 1w + 1x + 1y + 1z = −1
III. −1v − 1w + 1x + 1y + 1z = +1
IV. 1v − 1w − 1x − 1y + 1z = −1
das sieht eher nach einem üblichen gleichungssystem aus, aber die zeile 2 ist doch eigentlich genau so geblieben..
müsste ich nach diesem schritt dann ganz normal wie man es lernt auflösen, z.b. in dem man die erste zeile von 2 subtrahiert?
also I-II wäre dann ja:
2w -2y = 2
jetzt kommt etwas komisches:
dann die II- IV:
2w - 2x - 2y = O
wenn ich dann (I-II) - (II-IV) rechne, komme ich auf:
x= 0
ist das soweit dann richtig? könnte ich nun so weiter lösen?
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> wenn ich diese durch v,w,x,y,z ersetzen kann, dann müsste
> das ja so aussehen:
>
> v − w + x − y + z = +1
> v + w + x + y + z = −1
> −v − w + x + y + z = +1
> v − w − x − y + z = −1
>
> also, für mich siehts jetzt übersichtlicher aus, dies
> könnte ich dann also in der erweiterten matrix schreibweise
> hinschreiben, sowi sabah es meinte, oder??
Hallo,
ja, natürlich.
Falls Du diese Methode bereits kannst, ist es die Methode der Wahl.
>
> aber wenn ich das in zahlen schreibe, sieht es genauso aus
> wie bei sabah...
Das war ja auch richtig, was Sahbah schrieb.
> meine idee:
>
> I. 1v − 1w +1 x − 1y + 1z = +1
> II. 1v + 1w + 1x + 1y + 1z = −1
> III. −1v − 1w + 1x + 1y + 1z = +1
> IV. 1v − 1w − 1x − 1y + 1z =
> −1
>
> müsste ich nach diesem schritt dann ganz normal wie man es
> lernt auflösen, z.b. in dem man die erste zeile von 2
> subtrahiert?
Du mußt das GS jetzt ganz normal lösen, mit einer der Methoden, die Du kannst.
Hierbei solltest Du sinnigerweise auch richtig rechnen, denn wenn ich die zweite von der ersten Zeile abziehe, kommt was anderes heraus...
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> also I-II wäre dann ja:
> 2w -2y = 2
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Do 17.01.2008 | | Autor: | howtoadd |
danke für die rasche antwort und für alle bemühungen! ich rechne das dann jetzt mal weiter :))))
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Do 17.01.2008 | | Autor: | howtoadd |
also, ich hab jetzt zwar versucht das gls zu lösen, aber etwas übersehen:
es sind 4 gleichungen mit 5 unbekannten, somit gibt es unendlich viele lösungen! ich hab mir das angeguckt, wie man das macht, aber nicht wirklich verstanden: man wählt eine unbekannte fest und löst die anderen unbekannten auf dem üblichen weg...
was ich jetzt gemacht habe:
habe die
I-II : -2w - 2 y = 2
II-IV : 2w + 2x +2y = 0
und dann (I-II)-(II-IV) :
-4w + 2x = 2 -4w
2x= 2 -4w :2
x= 1- 2k (oder) x3= 1-2k
k= k [mm] \in \IR [/mm]
k ist somit die unbekannte... oder wie? darf ich das überhaupt so machen?
ich meine, ich könnte ja jetzt auch jede beliebe k machen, wenn ich auflöse..
z.B : III - I
-2v + 2y = 0 so, dürfte ich das jetzt zum beispiel jetzt schon nach v oder y auflösen? ich meine: v = -1k ?????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Do 17.01.2008 | | Autor: | Sabah |
Hallo nochmal, ich habe mit Gauß Elimination folgendes bekommen
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & (1)\\ 0 & 2 & 0 & 0& -2& (0) \\ 0 & 0 & 0& 2 & 2 & (-2)\\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0& (-2) } [/mm]
hier muss man für den [mm] x_{5}=0 [/mm] wählen
[mm] x_{4}=-1 [/mm]
[mm] x_{3}=1 [/mm]
[mm] x_{2}=0 [/mm]
[mm] x_{1}=1 [/mm]
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> Hallo nochmal, ich habe mit Gauß Elimination folgendes
> bekommen
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & (1)\\ 0 & 2 & 0 & 0& -2& (0) \\ 0 & 0 & 0& 2 & 2 & (-2)\\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0& (-2) }[/mm]
Hallo,
schau mal in meinem Post, wie man das noch übersichtlicher schreiben kann und sollte.
>
> hier muss man für den [mm]x_{5}=0[/mm] wählen
Nein. Das Gleichungssystem hat nur 4 Gleichungen, aber 5 Variable.
Du kannst eine Variable völlig beliebig wählen, etwa [mm] x_5=k [/mm] mit [mm] k\in \IR, [/mm] daraus ergeben sich dann die anderen [mm] x_i.
[/mm]
Mit dem, was Du tust, bekommst Du auch eine Lösung, aber die ganzen anderen Lösungen gehen Dir durch die Lappen.
>
> [mm]x_{4}=-1[/mm]
> [mm]x_{3}=1[/mm]
> [mm]x_{2}=0[/mm]
> [mm]x_{1}=1[/mm]
Du hast natürlich noch eine weitere Möglichkeit: Du hast jetzt diese eine spezielle Lösung gefunden.
Wenn Du zu dieser den ganzen Lösungsraum des homogenen Systems addierst, hast Du die komplette Lösungsmenge. Man findet das in Skriptenoft als : spezielle Lösung + Lösung des homogenen Systems.
Gruß v. Angela
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> also, ich hab jetzt zwar versucht das gls zu lösen, aber
> etwas übersehen:
>
> es sind 4 gleichungen mit 5 unbekannten, somit gibt es
> unendlich viele lösungen!
Hallo,
ja, so ist das.
Ich verwende jetzt mal ohne sie weiter zu prüfen Sahbahs Matrix und bringe das zu Ende:
$ [mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & (1)\\ 0 & 2 & 0 & 0& -2& (0) \\ 0 & 0 & 0& 2 & 2 & (-2)\\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0& (-2) } [/mm] $ ---> $ [mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & (1)\\ 0 & 2 & 0 & 0& -2& (0) \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0& (-2)\\0 & 0 & 0& 2 & 2 & (-2) } [/mm] $ ---> [mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & (1)\\ 0 &1 & 0 & 0& -1& (0) \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0& (1)\\0 & 0 & 0& 1 & 1 & (-1) }
[/mm]
So. Nun ist sie manierlich auf Zeilenstufenform.
Der Rang der Matrix ist =4, wir haben 5 Variable, können also eine Variable völlig frei wählen.
Die letzte Zeile sagt:
y+z=-1
Ich wähle z:=k mit [mm] k\in \IR [/mm] beliebig und erhalte
z=k
y=-k-1
Die 3. Zeile sagt:
x=1
Die 2.Zeile:
w-z=0, also
w=k
Die 1.Zeile:
v -w +x -y +z =1, also
v=w-x+y-z+1=k-1+(-k-1)-k+1=-k-1.
Also haben alle Lösungen [mm] \vektor{v\\w\\x \\ y\\z} [/mm] die Gestalt
[mm] \vektor{v\\w\\x \\ y\\z}= \vektor{-k-1\\k\\1 \\ -k-1\\k}= \vektor{-1\\0\\1\\ -1\\0}+k\vektor{-1\\1\\0 \\ -1\\1}.
[/mm]
Alle Vektoren, die so aussehen, lösen das System, egal, welches k Du einsetzt.
(Geometrisch: Eine Gerade in Richtung [mm] \vektor{-1\\1\\0 \\ -1\\1} [/mm] durch den Punkt [mm] \vektor{-1\\0\\1\\ -1\\0})
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Do 17.01.2008 | | Autor: | howtoadd |
danke, danke danke!
ihr seid echt spitze leute!
jetzt rechne ich das nochmal nach, mal sehen, ob ich auch auf das gleiche komme...
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Es sind Variablen nicht mehr und nicht weniger. du könntest doch auch v,w,x,y,z schreiben ![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
Gruß
