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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Do 03.03.2005 | | Autor: | andyb |
Hallo,
ich denke mal das Thema wurde hier schon oft genug besprochen, aber ich hänge an einer Aufgabe fest.
Das Gleichungssystem
2x-5y+3z-4u=1
6Y-3Z+4u=-1
2X+Y+U=2
4x-4y+3z-3u=3
sei gegeben.
a.) Bestimmen Sie den Rang, der dazu gehörigen Koeffizientenmatrix.
b.) Lösen Sie das GLS und geben Sie die Lösungsmenge an.
zu a.) Ich weiß zwar nicht was eine Koeffizientenmatrix ist habe die Aufgabe aber so probiert
(Da irgendwie keine Mathe Zeichen da sind versuche ich es ohne Leserlich zu schreiben)
2 -5 3 -4 | 1
0 6 -3 4 |-1
2 1 0 1 | 2 =>(3.)-(1.)
4 -4 3 -3 | 3 =>(4.)-2*(1.)
Dannach
(3.)-(2.) und (4.)-(3.)
und erhalte dann:
2 -5 3 -4 | 1
0 6 -3 4 |-1
0 0 0 1 | 0 <-Ist diese Zeile noch lin. unabhängig?
0 0 0 0 | 0 Wenn ja wäre doch der Rang=3 wenn das
eine Koeffizienten matrix ist?
b.) Hier weiß ich nicht genau wie ich Anfangen soll. Die MAtrix ist doch nicht eindeutig Lösbar, da der Rang kleiner als die Zeilen/Spalten Anzahl, oder? D.h. es müßte doch mehrerer Lösungen geben, deswegen wird auch in der Aufgabe nach Lösungsmengen gefragt.
{x,y,z,u}
Die dritte Zeile ist doch beliebig (wäre das u) , aber was mache ich mit der vierten und wie erhalte ich dann z? Wie gehe ich jetz weiter vor?
Hat irgendjemand einen Tipp für mich? Danke.
Gruß: Andy
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a) die koeffizientenmatrix ist hier:
[mm] \pmat{ 2 & -5 & 3 & -4 \\ 0 & 6 & -3 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 4 & -4 & 3 & -3 }
[/mm]
die erweiterte koeffmatrix ist:
[mm] \pmat{ 2 & -5 & 3 & -4 & 1 \\ 0 & 6 & -3 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & -4 & 3 & -3 & 3 }
[/mm]
alle zeilen [mm] \not= [/mm] 0 einer matrix in ZSF sind lin. unabhängig
b)ein gl.system ist genau dann eindeutig lösbar wenn rang(koeffmatrix)=rang(erweiterte koeffmatrix)=n wobei n die zahl der spalten der koeffmatrix ist. sei A die koeffmatrix. aus Ax=b kannst du sehen dass in der 3 spalte von A die koeff. der unbestimmten z (nicht u) stehen. und ja, z ist frei wählbar. du kannst jetzt z.b. das gleichungssystem lösen, indem du dir zuerst die unterste zeile ungleich null anschaust und nach u auflöst, dann schaust du dir die zeile darüber an und löst nach y, auf. verwende dafür u=... und betrachte z weiterhin als unbestimmte (du kannst am schluss dann für z irgendwas einsetzen und erhältst eine lösung). dann musst du nur noch nach x auflösen und dir dann einen lösungsraum basteln. das ist der direkteste wenngleich auch der untheoretischste weg...
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