Lösungsansatz < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:13 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Ricc |
| Aufgabe | Das Produkt einer komplexen Zahl z mit der zugeordneten konjugiert komplexen Zahl [mm] \overline{z} [/mm] hat
den Wert 2; der Quotient dieser Zahlen ist
[mm] \bruch{z}{\overline{z}}= [/mm] i.
Bestimmen Sie die Menge L der
komplexen Zahlen z, die diese Bedingungen erfüllen. |
Hallo liebes Forum!
ich habe gerade erst begonnen mich mit dem Thema der komplexen Zahlen zu beschäftigen, entsprechend schwer fällt mir die Aufgabe, da ich das ganze doch als sehr abstrakt empfinde!
Mein Lösungsansatz sieht wie folgt aus:
x+iy*x-iy=2
[mm] \wurzel{x^{2}+y^{2}}*\wurzel{x^{2}-y^{2}}=2
[/mm]
[mm] \wurzel{x^{2}+y^{2}*x^{2}-y^{2}}=2
[/mm]
[mm] \wurzel{x^{4}-y^{4}}=2
[/mm]
[mm] x^{4}-y^{4}=4
[/mm]
Von da an habe ich aber keine Idee mehr und weiß zudem nicht wie ich die 2. Bedingung (der Quotient dieser Zahlen ist [mm] \bruch{z}{\overline{z}}= [/mm] i.) mit einbeziehen soll!
Wie komme ich weiter, oder wähle ich besser einen ganz anderen Ansatz?
Grüße Riccardo
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Hallo Riccardo,
> Das Produkt einer komplexen Zahl z mit der zugeordneten
> konjugiert komplexen Zahl [mm]\overline{z}[/mm] hat
> den Wert 2; der Quotient dieser Zahlen ist
> [mm]\bruch{z}{\overline{z}}=[/mm] i.
>
> Bestimmen Sie die Menge L der
> komplexen Zahlen z, die diese Bedingungen erfüllen.
> Hallo liebes Forum!
>
> ich habe gerade erst begonnen mich mit dem Thema der
> komplexen Zahlen zu beschäftigen, entsprechend schwer
> fällt mir die Aufgabe, da ich das ganze doch als sehr
> abstrakt empfinde!
>
> Mein Lösungsansatz sieht wie folgt aus:
>
> x+iy*x-iy=2
Meinen tust du sicherlich das richtige. Aber: hier fehlt eine geeignete Klammerung, die ist in der kartesichen Form bei der Multipliaktion unerlässlich!
> [mm]\wurzel{x^{2}+y^{2}}*\wurzel{x^{2}-y^{2}}=2[/mm]
> [mm]\wurzel{x^{2}+y^{2}*x^{2}-y^{2}}=2[/mm]
> [mm]\wurzel{x^{4}-y^{4}}=2[/mm]
> [mm]x^{4}-y^{4}=4[/mm]
Hm, von Beträgen war nicht die Rede, also kann das mit den Wurzeln auch nicht stimmen. Multipliziere besser deinen ersten Ansatz auf der linken Seite aus.
>
> Von da an habe ich aber keine Idee mehr und weiß zudem
> nicht wie ich die 2. Bedingung (der Quotient dieser Zahlen
> ist [mm]\bruch{z}{\overline{z}}=[/mm] i.) mit einbeziehen soll!
>
Ganz einfach:
[mm] \bruch{x+yi}{x-yi}=i
[/mm]
Forme den Bruch auf der linken Seite um, indem du mit dem Zähler so erweiterst, dass im Nenner ein 3. Binom und damit eine reelle Zahl entsteht.
Beachte nun noch, dass i eine <u>bekannte Zahl</i> ist. Du hast nämlich jetzt ein relativ einfaches quadratisches Gleichungssystem, welches noch gelöst werden sollte. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Ricc |
Also, erstmal danke für deine Antwort!
So bin ich vorgegangen:
x+iy*x-iy=2
[mm] x^{2}-iyx+iyx=2
[/mm]
[mm] x^{2}+y=2 [/mm]
Dann:
[mm] \bruch{x+yi}{x-yi}=i [/mm]
[mm] \bruch{x+yi}{x-yi}*\bruch{x+yi}{x+yi}
[/mm]
[mm] \bruch{2xyi-y}{y}=i [/mm]
2xi-1=i
Wie bekomme ich denn nun das i weg?
Grüße
Riccardo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Fr 26.10.2012 | | Autor: | Ricc |
Hmm, ich glaub ich steh da auf dem schlauch..
also
(x+iy)*(x-iy)=2
[mm] x^{2}+y^{2}=2
[/mm]
ist mir klar, das ist die binomische Formel
[mm] \bruch{x+yi}{x-yi}=i [/mm]
[mm] \bruch{x+yi}{x-yi}\cdot{}\bruch{x+yi}{x+yi}=i
[/mm]
Der Nenner ist wie die oben (x+iy)*(x-iy) = [mm] x^{2}+y^{2}
[/mm]
da oben ja steht: [mm] x^{2}+y^{2}=2, [/mm] kann ich für den Nenner einfach 2 schreiben?
aber ich verstehe nicht wie ich das i weg bekomme!
(x+iy)*(x+iy)= [mm] x^{2}+2xyi+yi^{2} [/mm] = [mm] x^{2}+2xyi-y [/mm] soweit richtig?
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Hallo, du hast zwei Gleichungen:
(1)
(x+iy)*(x-iy)=2
[mm] x^2+y^2=2
[/mm]
[mm] y^2=2-x^2
[/mm]
[mm] y_1_2=\pm\wurzel{2-x^2}
[/mm]
(2)
[mm] \bruch{x+yi}{x-yi}=i
[/mm]
[mm] \bruch{x+yi}{x-yi}\cdot{}\bruch{x+yi}{x+yi}=i
[/mm]
[mm] \bruch{x^2+2ixy-y^2}{x^2+y^2}=i
[/mm]
jetzt im Nenner 2 einsetzen, laut Gleichung (1)
[mm] \bruch{x^2+2ixy-y^2}{2}=i
[/mm]
[mm] x^2+2ixy-y^2=2i
[/mm]
jetzt [mm] y^2=2-x^2 [/mm] und [mm] y_1=\wurzel{2-x^2} [/mm] einsetzen
[mm] x^2+2ix\wurzel{2-x^2}-(2-x^2)=2i
[/mm]
[mm] x^2+2ix\wurzel{2-x^2}-2+x^2=2i
[/mm]
[mm] 2x^2+2ix\wurzel{2-x^2}-2=2i
[/mm]
[mm] x^2+ix\wurzel{2-x^2}-1=i
[/mm]
[mm] ix\wurzel{2-x^2}=1+i-x^2
[/mm]
jetzt quadrieren
[mm] -x^2(2-x^2)=1+i-x^2+i-1-ix^2-x^2-ix^2+x^4
[/mm]
[mm] -2x^2+x^4=2i-2x^2-2ix^2+x^4
[/mm]
[mm] 0=2i-2ix^2
[/mm]
[mm] 0=i-ix^2
[/mm]
somit [mm] x^2=1
[/mm]
bestimme jetzt [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm]
dann alles mit [mm] y_2
[/mm]
mache am Ende die Proben, ist dir klar, warum?
Steffi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:02 Di 30.10.2012 | | Autor: | Ricc |
[mm] x^2=1
[/mm]
x1=1
x2=-1
Jetzt das gleiche mit y2
[mm] x^2+2ix*-(\wurzel{2-x^2})-(2-x^2)=2i [/mm]
[mm] 1+2ix*-(\wurzel{1})-1 [/mm] = 2i
(1) -2ix=2i
-ix=i
x2=-1
(2) 2ix=2i /:2
ix=i
x1=1
eingesetzt in unsere 1. Gleichung:
[mm] y1/2=±\wurzel{2-1}
[/mm]
y1=1
y2=-1
L=(1,1) und (-1,-1)
Die Probe kommt damit hin! Um das Ergebnis zu überprüfen denke ich oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:33 Di 30.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]x^2=1[/mm]
>
> x1=1
>
> x2=-1
>
> Jetzt das gleiche mit y2
>
> [mm]x^2+2ix*-(\wurzel{2-x^2})-(2-x^2)=2i[/mm]
>
> [mm]1+2ix*-(\wurzel{1})-1[/mm] = 2i
>
> (1) -2ix=2i
>
> -ix=i
>
> x2=-1
>
> (2) 2ix=2i /:2
>
> ix=i
>
> x1=1
>
> eingesetzt in unsere 1. Gleichung:
>
> [mm]y1/2=±\wurzel{2-1}[/mm]
>
> y1=1
>
> y2=-1
>
> L=(1,1) und (-1,-1)
>
> Die Probe kommt damit hin! Um das Ergebnis zu überprüfen
> denke ich oder?
>
Alles richtig.
FRED
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
