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| Aufgabe | | relative Extrema von f(x,y) = x⁴-2x²+(2x²-1)y² berechnen. |
Hallo zusammen,
ich weiß nicht ob ich gerade nur etwas auf dem Schlauch stehe, oder es einfach nicht weiß, aber ich bekomme es nicht hin die Extrema der oben gegebenen Aufgabe zu berechnen.
Ich habe den Gradient gebildet, und möchte diesen nun dem Nullvektor gleich setzen, weiß allergings nicht wie ich alle Lösungen des Gleichungssystems bestimmen kann.
Viele Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> relative Extrema von f(x,y) = x⁴-2x²+(2x²-1)y²
> berechnen.
> Ich habe den Gradient gebildet, und möchte diesen nun dem
> Nullvektor gleich setzen, weiß allergings nicht wie ich
> alle Lösungen des Gleichungssystems bestimmen kann.
Dann gib doch mal an, was du bereits gerechnet hast !
Und verwende bitte keine solchen Tastaturexpo-
nenten wie oben !
Schreibe die Funktion so:
$\ f(x,y)\ =\ [mm] x^4-2x^2+(2x^2-1)y^2$ [/mm] <----- bitte auf Gleichung klicken !
LG
Al-Chw.
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> relative Extrema von f(x,y) = x⁴-2x²+(2x²-1)y²
> berechnen.
> Hallo zusammen,
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> ich weiß nicht ob ich gerade nur etwas auf dem Schlauch
> stehe, oder es einfach nicht weiß, aber ich bekomme es
> nicht hin die Extrema der oben gegebenen Aufgabe zu
> berechnen.
>
> Ich habe den Gradient gebildet, und möchte diesen nun dem
> Nullvektor gleich setzen, weiß allerdings nicht wie ich
> alle Lösungen des Gleichungssystems bestimmen kann.
>
> Viele Grüße
Hallo Schneekatze,
erst einmal noch ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich habe dich gestern noch gebeten, deinen eigenen Ansatz
zur Lösung anzugeben. Da bisher keine Antwort gekommen
ist (vielleicht war dir ja der Umgang mit den Formeln noch
nicht so ganz geheuer ...), versuchen wir's nochmal:
Die Funktion f mit
$ \ f(x,y)\ =\ [mm] x^4-2x^2+(2x^2-1)\,y^2 [/mm] $
hat den Gradienten [mm] $\overrightarrow{grad}\ [/mm] f\ =\ [mm] \pmat{4\,x^3-4\,x+4\,x\,y^2\\4\,x^2\,y-2\,y}$
[/mm]
Das für [mm] $\overrightarrow{grad}\ [/mm] f\ =\ [mm] \vec0$ [/mm] zu lösende Gleichungssystem ist also
[mm] $\begin{cases} (1) &4\,x^3-4\,x+4\,x\,y^2\ =\ 0 \\ (2) & 4\,x^2\,y-2\,y\ =\ 0 \end{cases}$
[/mm]
Nun lassen sich beide Gleichungen faktorisieren:
[mm] $\begin{cases} (1) &4\,x*(x^2+y^2-1)\ =\ 0 \\ (2) & 2\,y*(2\,x^2-1)\ =\ 0 \end{cases}$
[/mm]
Jetzt würde ich dir empfehlen, ein Blatt Papier zu nehmen
und die Lösungsmengen [mm] L_1 [/mm] zur Gleichung (1) und [mm] L_2 [/mm] zu (2)
in der x-y-Ebene aufzuzeichnen, z.B. [mm] L_1 [/mm] rot und [mm] L_2 [/mm] blau.
[mm] L_1 [/mm] besteht zum Beispiel aus allen Punkten (x|y), in welchen
(mindestens) eine der Gleichungen x=0 oder [mm] x^2+y^2-1=0
[/mm]
erfüllt ist. Was für eine Figur ist also das Bild von [mm] L_1 [/mm] ?
Auch zu [mm] L_2 [/mm] erhältst du eine gewisse (blau dargestellte)
Punktmenge in der Ebene.
Die gesuchten Punkte, in denen [mm] $\overrightarrow{grad}\ [/mm] f\ =\ [mm] \vec0$ [/mm] gilt, und in
welchen die Funktion f allenfalls lokale Extrema haben
könnte, sind dann die Schnittpunkte der blau und der
rot dargestellten Mengen.
Noch ein Tipp für die weitere Untersuchung: Beachte,
dass der Funktionsterm für f sowohl x als auch y nur
in geraden Potenzen enthält. Die daraus zu erkennende
Symmetrie ist für die Untersuchung der einzelnen
"Kandidatenpunkte" sehr hilfreich.
LG Al-Chw.
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