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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:32 Do 28.10.2004 | | Autor: | Fugre |
Guten Abend zusammen,
mir kam gerade die Frage auf, wie ich beweisen kann, dass der Satz des Pythagoras unendlich viele ganzzahlige Lösungen hat.
Eine Lösung dazu kam mir auch, aber ich muss gestehen, dass sie eher primitiv ist. Deshalb möchte ich euch bitten meinen Ansatz zu kritisieren und vielleicht sogar einen eleganteren Weg aufzuzeigen.
Zunächst der Satz und die Behauptung:
Ich behaupte, dass dieser Ausdruck $ [mm] a^2+b^2=c^2 [/mm] $ unendlich viele ganzzahlige Lösungen hat!
Mein Ansatz:
Ich wähle $ 3 $ Zahlen die die Aussage wahr werden lassen $ 3, 4 und 5 $ und schreibe:
$ [mm] 3^2+4^2=5^2 [/mm] $
$ a, b, c [mm] \in \IN [/mm] $
Jetzt erweitere ich meine Zahlen mit der Zahl $ n $ die für alle Zahlen $ [mm] \in \IN [/mm] $ steht, so dass mein neuer Ausdruck lautet:
$ [mm] (3n)^2+(4n)^2=(5n)^2 [/mm] $
$ [mm] n^2*3^2+n^2*4^2=n^2*5^2 [/mm] $
$ [mm] 9n^2+16n^2=25n^2 [/mm] $
Da $ n $ für jede Zahl aus der unendlichen Zahlenmenge $ [mm] \IN [/mm] $ stehen kann und das Produkt aus ganzen Zahlen aus ganzen Zahlen besteht, gibt es unendlich viele ganzzahlige Lösungen für den Satz des Pythagoras! q.e.d.
Das ist jetzt ja alles schön und gut und ich habe bewiesen was ich beweisen wollte, aber wie kann ich die Lösungsmenge zumindest genauer bestimmen?
Denn ich konnte, wenn ich es richtig sehe, nur beweisen das ein unendlich großer Teil einer unendlich großen Menge $ [mm] \IN [/mm] $ die Lösungsmenge darstellt.
Wäre euch sehr verbunden, wenn ihr mir hier mal auf die Sprünge helft.
Liebe Grüße
Fugre 
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> Guten Abend zusammen,
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> mir kam gerade die Frage auf, wie ich beweisen kann, dass
> der Satz des Pythagoras unendlich viele ganzzahlige
> Lösungen hat.
> Eine Lösung dazu kam mir auch, aber ich muss gestehen,
> dass sie eher primitiv ist. Deshalb möchte ich euch bitten
> meinen Ansatz zu kritisieren und vielleicht sogar einen
> eleganteren Weg aufzuzeigen.
>
> Zunächst der Satz und die Behauptung:
> Ich behaupte, dass dieser Ausdruck [mm]a^2+b^2=c^2[/mm] unendlich
> viele ganzzahlige Lösungen hat!
>
> Mein Ansatz:
> Ich wähle [mm]3[/mm] Zahlen die die Aussage wahr werden lassen [mm]3, 4 und 5[/mm]
> und schreibe:
> [mm]3^2+4^2=5^2[/mm]
>
> [mm]a, b, c \in \IN[/mm]
>
> Jetzt erweitere ich meine Zahlen mit der Zahl [mm]n[/mm] die für
> alle Zahlen [mm]\in \IN[/mm] steht, so dass mein neuer Ausdruck
> lautet:
> [mm](3n)^2+(4n)^2=(5n)^2[/mm]
> [mm]n^2*3^2+n^2*4^2=n^2*5^2[/mm]
> [mm]9n^2+16n^2=25n^2[/mm]
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> Da [mm]n[/mm] für jede Zahl aus der unendlichen Zahlenmenge [mm]\IN[/mm]
> stehen kann und das Produkt aus ganzen Zahlen aus ganzen
> Zahlen besteht, gibt es unendlich viele ganzzahlige
> Lösungen für den Satz des Pythagoras! q.e.d.
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> Das ist jetzt ja alles schön und gut und ich habe bewiesen
> was ich beweisen wollte, aber wie kann ich die Lösungsmenge
> zumindest genauer bestimmen?
> Denn ich konnte, wenn ich es richtig sehe, nur beweisen
> das ein unendlich großer Teil einer unendlich großen Menge
> [mm]\IN[/mm] die Lösungsmenge darstellt.
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> Wäre euch sehr verbunden, wenn ihr mir hier mal auf die
> Sprünge helft.
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Liebe Grüße
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