Lösungen erraten < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \vektor{y_1'\\y_2'}=\pmat{ -x & x+1 \\ x+1 & -x }\vektor{y_1\\y_2} [/mm] |
Hallo!
Eine Lösung habe ich bald erraten [mm] \vektor{e^x\\e^x} [/mm] wir haben aber das Reduktionsverfahren nur für Gleichungen n-ter Ordnung besprochen was in diesem Falle auf eine eher komplizierte Gleichung führen würde. Deshalb vermute ich das die 2. Lösung auch zu erraten ist oder was würdet ihr mir empfehlen? Geht es nicht auch systematischer?
Gruß
Angelika
|
|
| |
|
Hallo AbraxasRishi,
> [mm]\vektor{y_1'\\y_2'}=\pmat{ -x & x+1 \\ x+1 & -x }\vektor{y_1\\y_2}[/mm]
>
> Hallo!
>
>
> Eine Lösung habe ich bald erraten [mm]\vektor{e^x\\e^x}[/mm] wir
> haben aber das Reduktionsverfahren nur für Gleichungen
> n-ter Ordnung besprochen was in diesem Falle auf eine eher
> komplizierte Gleichung führen würde. Deshalb vermute ich
> das die 2. Lösung auch zu erraten ist oder was würdet ihr
> mir empfehlen? Geht es nicht auch systematischer?
Die Gleichungen für das DGL-System lauten:
[mm]y_{1}'=\left(-x\right)*y_{1}+\left(x+1\right)*y_{2}[/mm]
[mm]y_{2}'=\left(x+1\right)*y_{1}-x*y_{2}[/mm]
Werden diese Gleichungen nun addiert, so ergibt sich:
[mm]y_{1}'+y_{2}'=y_{1}+y_{2}[/mm]
Definieren wir nun [mm]u:=y_{1}+y_{2}[/mm], so lautet die zu lösende DGL.
[mm]u'=u[/mm]
Nun gilt [mm]y_{2}=u-y_{1}[/mm]
Mit dieser Kenntnis gehst nun in eine der beiden Gleichungen
[mm]y_{1}'=\left(-x\right)*y_{1}+\left(x+1\right)*y_{2}[/mm]
[mm]y_{2}'=\left(x+1\right)*y_{1}-x*y_{2}[/mm]
ein, und löst die entstehende DGL für [mm]y_{1}[/mm]
Damit hast Du die Lösungen gefunden.
>
> Gruß
>
> Angelika
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Wow danke das ist ja ein super Trick ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") dachte mir echt nicht das es so leicht sein kann!
|
|
|
|
