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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Sa 03.05.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen folgender Gleichungen!
b)[mm]\sqrt{3x+3}=x+\sqrt{x^2-3}[/mm] |
[mm]\sqrt{3x+3}=x+\sqrt{x^2-3}[/mm]
[mm] 3x+3=x^2+2*x*\sqrt{x^2-3}+x^2-3
[/mm]
[mm] -2x^2+3x+6=2*x*\sqrt{x^2-3}
[/mm]
[mm] (-2x^2+3x+6)*(-2x^2+3x+6)=4*x^2*(x^2-3)
[/mm]
[mm] 4x^2-12x^3-24x^2+9x^2+36x+36=4x^4-12x^2
[/mm]
[mm] -12x^3-x^2+12x+12=0
[/mm]
[mm] -4x^3-x^2+12x+12=0
[/mm]
Ist das so richtig bisjetzt? Nu komm ich nämlich nicht so ganz weiter. Nullstellen raten!?
Danke schonmal im vorraus und besten Gruß,
tedd
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Hallo Tyskie,
du hast dich leider verrechnet,
x=-2 kann nicht rauskommen, setze es mal in den ersten Wurzelausdruck ein...
> Hi,
>
> Hmm ich hab da was anders heraus. Allerdings habe ich auch
> einen anderen Ansatz gewählt. Schau mal:
> [mm]\wurzel{3x+3}=x+\wurzel{x^{2}-3}[/mm]
> [mm]\gdw \wurzel{3x+3}-\wurzel{x^{2}-3}=x[/mm]
> [mm]\gdw (\wurzel{3x+3}-\wurzel{x^{2}-3})^{2}=(x)^{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw 3x+3-2(3x^{3}-9x+3x^{2}-9)+x^{2}-3=x^{2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
2. binom. Formel !!
[mm] $=(3x+3)-2\cdot{}\red{\sqrt{3x+3}\cdot{}\sqrt{x^2-3}}+(x^2-3)=x^2$ [/mm] usw
> [mm]\gdw 3x+3-6x^{3}+18x-6x^{2}+18+x^{2}-3=x^{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw -6x^{3}-6x^{2}+21x+18=0[/mm]
> [mm]\gdw 2x^{3}+2x^{2}-7x-6=0[/mm]
>
> Und nun eine Nullstelle raten. Eine Nullstelle liegt bei
> x=-2. Ich hoffe ich habe mich nicht verrechnet 
>
> ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
@tedd:
deine Rechnung stimmt!
Hier [mm] $-4x^3-x^2+12x+12=0$ [/mm] musst du nun eine NST raten.
Hilfreich ist vllt. der Tipp, dass wenn es eine ganzzahlige NST gibt, so ist diese Teiler des Absolutgliedes (also desjenigen ohne x), also hier von 12
12 hat die Teiler [mm] $\pm1,\pm2\pm3,\pm4\pm6,\pm12$
[/mm]
Das erleichtert das Raten ein wenig.
Es gibt übrigens eine ganzzahlige NST...
Hast du die NST [mm] x_N [/mm] gefunden, so kannst du mittels Polynomdivision [mm] $(-4x^3-x^2+12x+12):(x-x_N)$ [/mm] selbige abspalten und kannst dann das entstehende Polynom 2.Grades auf evtl. weitere NST untersuchen (pq-Formel o.a.)
LG
schachuzipus
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