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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:57 Sa 06.09.2008 | | Autor: | jack0 |
| Aufgabe | Seien [mm] A_{\alpha} \in \IR^{3x3} [/mm] und [mm] \vec{b_{1}}, \vec{b_{2}} [/mm] gegeben durch
[mm] A_{\alpha} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & \alpha } \vec{b_{1}} [/mm] = [mm] \pmat{ -5 \\ 3 \\ 0} [/mm] , [mm] \vec{b_{2}} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
(a) Sei [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vec{b_{1}} \times \vec{b_{2}}. [/mm] Stellen Sie fest, für welche [mm] \alpha \in \IR [/mm] das Gleichungssystem [mm] A\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] genau eine, unendlich viele bzw. gar keine Lösung besitzt.
(b) Sei nun [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] (3,5,0)^T [/mm] und [mm] \alpha [/mm] = 0. Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems [mm] A_{0} \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{b}.
[/mm]
(c) Welche Dimension besitzt der Kern der Matrix [mm] A_{0}? [/mm] Geben Sie eine Basis des Kernes an. |
Hallo,
zu dieser Aufgabe habe ich zwei Fragen
1. Bei Aufgabenteil a, dieses [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vec{b_{1}} \times \vec{b_{2}} [/mm] weiß ich nicht so recht zuzordnen. Zuerst hab ich gedacht Multiplikation aber das geht wohl schlecht.
2. Im Aufgabenteil c. Ich habe den Kern berechnet. Bei mir kommt folgendes heraus. Was ist denn jetzt aber eine Basis des Kerns und wie berechen ich sie?
Kern [mm] A_{0} [/mm] = t [mm] \vektor{-2 \\ -2/3 \\ 1}
[/mm]
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Hallo jack0!
> Seien [mm]A_{\alpha} \in \IR^{3x3}[/mm] und [mm]\vec{b_{1}}, \vec{b_{2}}[/mm]
> gegeben durch
> [mm]A_{\alpha}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & \alpha } \vec{b_{1}}[/mm]
> = [mm]\pmat{ -5 \\ 3 \\ 0}[/mm] , [mm]\vec{b_{2}}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> (a) Sei [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\vec{b_{1}} \times \vec{b_{2}}.[/mm] Stellen
> Sie fest, für welche [mm]\alpha \in \IR[/mm] das Gleichungssystem
> [mm]A\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{b}[/mm] genau eine, unendlich viele bzw. gar
> keine Lösung besitzt.
> (b) Sei nun [mm]\vec{b}[/mm] = [mm](3,5,0)^T[/mm] und [mm]\alpha[/mm] = 0. Bestimmen
> Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems [mm]A_{0} \vec{x}[/mm] =
> [mm]\vec{b}.[/mm]
> (c) Welche Dimension besitzt der Kern der Matrix [mm]A_{0}?[/mm]
> Geben Sie eine Basis des Kernes an.
> Hallo,
> zu dieser Aufgabe habe ich zwei Fragen
> 1. Bei Aufgabenteil a, dieses [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\vec{b_{1}} \times \vec{b_{2}}[/mm]
> weiß ich nicht so recht zuzordnen. Zuerst hab ich gedacht
> Multiplikation aber das geht wohl schlecht.
Doch, ich denke schon, dass das Multiplikation sein soll, und zwar Vektormultiplikation (im Gegensatz zu Skalarmultiplikation). Meist nennt man das einfach  Vektorprodukt.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo jack0,
> Seien [mm]A_{\alpha} \in \IR^{3x3}[/mm] und [mm]\vec{b_{1}}, \vec{b_{2}}[/mm]
> gegeben durch
> [mm]A_{\alpha}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & \alpha } \vec{b_{1}}[/mm]
> = [mm]\pmat{ -5 \\ 3 \\ 0}[/mm] , [mm]\vec{b_{2}}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> (c) Welche Dimension besitzt der Kern der Matrix [mm]A_{0}?[/mm]
> Geben Sie eine Basis des Kernes an.
> Hallo,
> zu dieser Aufgabe habe ich zwei Fragen
> 1. Bei Aufgabenteil a, dieses [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\vec{b_{1}} \times \vec{b_{2}}[/mm]
> weiß ich nicht so recht zuzordnen. Zuerst hab ich gedacht
> Multiplikation aber das geht wohl schlecht.
>
> 2. Im Aufgabenteil c. Ich habe den Kern berechnet. Bei mir
> kommt folgendes heraus. Was ist denn jetzt aber eine Basis
> des Kerns und wie berechen ich sie?
> Kern [mm]A_{0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= $\red{\left\{t\vektor{-2 \\ -2/3 \\ 1}\mid t\in\IR\right\}}$
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
na, das stimmt doch. Mit deiner Lösung ist $dim(Kern(A))=1$ und eine Basis ist $\vektor{-2 \\ -2/3 \\ 1}$
Dein ausgerechneter Kern besteht ja aus allen Vielfachen dieses Vektors.
Wenn du den Bruch loswerden willst, kannst du $t=3$ setzen und ${\vektor{-6 \\ -2 \\ 3}$ als Basis nehmen ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 Sa 06.09.2008 | | Autor: | jack0 |
Ok, vielen Dank ihr beiden, habt mir wirklich sehr geholfen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Sa 06.09.2008 | | Autor: | jack0 |
Ich habe jetzt mal [mm] \vec{b} [/mm] ausgerechnet und wollte das Gleichungssystem von Aufgabenteil a lösen. Für [mm] \vec{b} [/mm] hab ich [mm] \pmat{ 3 \\ 5 \\ 0 }. [/mm] Ich hab dann Ax=b ein bisschen umgeformt und komm auf das da
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & \alpha } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ 0}.
[/mm]
Wenn ich mir das dann genauer betrachte komme ich darauf, dass wenn
[mm] \alpha [/mm] = 0 => unendlich viele Lösungen
[mm] \alpha \not= [/mm] 0 => genau eine Lösung (weil dann ja [mm] x_{3}=0 [/mm] sein muss
Ist das so richtig und gibt es auch noch ein [mm] \alpha [/mm] für welches es gar keine Lösung besitzt?
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Ich hab dann Ax=b ein bisschen
