Lösung von Gleichung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Furby |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
diese Aufgabe stammt aus einem Übungsbuch wo leider nur das Ergebnis steht, nicht der Rechenweg erklärt ist um den es mir geht, wäre schön wenn mir das jemand bitte einfach erklärt, bin wirklich nicht Mathebegabt. Danke!
Löse das folgende Gleichungssystem:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -4 \\ 2 & -1 & 7 \\3 & 1 & -2} \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \pmat{ -11 \\ 20 \\ -5}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Mi 08.06.2005 | | Autor: | NECO |
> Löse das folgende Gleichungssystem:
> [mm] \pmat{ 1 & 1 & -4 \\ 2 & -1 & 7 \\3 & 1 & -2} \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm]\pmat{ -11 \\ 20 \\ -5}[/mm]
Also dass zu lösen ist keien Problem, ich möchte aber dass du das auch allein schafst. ich helfe dir bis wir das ganze gelöst haben ok.
Weißt du wie man Matritzen multipliziert?
Also multipliziere [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] mit [mm] \pmat{ 1 & 1 & -4 \\ 2 & -1 & 7 \\3 & 1 & -2} [/mm] wie es oben steht, ok links bleibt die große Matrix, und die kleine mATRIX bleibt rechts.(denn Matritzen Multiplikation ist nicht komutativ)dann kannst du mir mal die Lösung schreiben. Dann machen wir weiter, einverstanden?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Furby |
Uih, so schnell hab ich ja nicht mit Antwort gerechnet, sehr schön.
Ich hoffe, das ist richtig:
x+ y+(-4)z = -11
2x +(-y) +7z = 20
3x +y -2z = -5
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Mi 08.06.2005 | | Autor: | NECO |
So sehr schön. Gesuch ist also x,y,z.
Wir haben hier eine inhomogene LGS. Also es gibt nur eine Lösung.
Um die x,y,z zu finden, hilft uns die Gaus-Elimination.
Du betrachtest du die Koeffizienten. Dann haben wir einne Erweiterte Matrix.
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -4 & 11\\ 2 & -1 & 7 & 20\\ 3 & 1 & -2 & -5}.
[/mm]
Jetz musst du diese Matrix in reduzierte Zeilenstufen Form bringen.
Das kannst du ja. Dann gibt es nur noch ein einzige Schritt zum Ergebnis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Do 09.06.2005 | | Autor: | Furby |
Da bin ich mir nicht sicher. Das was ich gelesen habe läuft daraus hinaus irgendwelche Nullstellen zu erzeugen, oder?
Wenn ich in der 2ten Zeile zu 2x -2 addiere ist es 0, -1y +(-2) = -3 und 7 +(-2) = 5
also schreibe ich
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -4 \\ 0 & -3 & 5 \\ 3 & 1 & 2}
[/mm]
im Buch steht aber für die 2te Zeile 0 -3 15
was mach ich falsch ?
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Salut!
Das ist auch kein Gauss-Verfahren, dass du dabei anwendest. Wenn ich dich richtig verstanden habe, würdest du momentan einfach von allen Koeffizienten in der zweiten Zeile der Matrix 2 abziehen, richtig?
Das darfst du aber nicht, als Äquivalenz-Umformungen auf einer Matrix (u. a. beim Gauss-Verfahren) sind in diesem Kontext grob gesagt nur die Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar sowie die Addition/Subtraktion gesamter Zeilen voneinander zulässig (über den Spalten natürlich analog, allerdings müsstest du dabei die Variablen umbenennen etc. pp., was in der Realität zumindest meines Empfindens mehr Aufwand als Nutzen bringt).
Die Zeile (0 -3 15), welche du ansprichst, entsteht, wenn man, ausgehend von der Anfangsmatrix, das doppelte der ersten Zeile von der zweiten abzieht (zu beachten: selbige Operationen auch über dem Lösungsvektor durchführen).
Tja, und derartiges wiederholst du, bis eine obere bzw. untere Dreiecksmatrix entsteht und du durch Rückwärtseinsetzen die Lösungen bestimmen kannst (gelegentlich "sieht" man die Lösungen schon bereits vorher, sodass der Gauss-Algortihmus nicht bis zum bitteren Ende durchexerziert werden muss).
Alles klar?
Au revoir!
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