Lösung von GDL berechnen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen zu
[mm] x'(t)x(t)=\bruch{(x(t))^2+1}{t+1}
[/mm]
Geben Sie auch jeweils das maximale Intervall an, auf dem die Lösung definiert werden kann. |
Hallo!
Ich versuche mich mal an diese Aufgabe.
Das Thema ist neu für mich und ich hab noch große Probleme. Ich denke, dass diese Differentialgleichung trennbar ist, weil wir so ähnliche auch in der Vorlesung hatten. Muss oder kann man das irgendwie näher begründen? Wir haben in der Vorlesung den Satz gehabt, dass ein DGL der Form x'(t)=f(x(t))g(t) trennbar ist. Also hier ist der Aufgabe ist dann f(x(t))= [mm] x^2 [/mm] und der Rest ist dann g(t)?
So, also ich habe erstmal die Gleichung umgeschrieben
[mm] \bruch{x'(t)x(t)}{(x(t))^2+1}=t+1 [/mm] und dann muss man ja auf beiden Seiten intergieren
[mm] \integral\bruch{t}{t^2+1} [/mm] dt = [mm] \bruch{ln(|t^2+1|)}{2} [/mm] + c
[mm] \integral [/mm] t+1 dt= [mm] \bruch{t^2}{2} [/mm] + t + c
und dann hat man insgesamt:
[mm] \bruch{ln(|x(t)^2+1|)}{2} [/mm] + [mm] c=\bruch{t^2}{2} [/mm] + t + c
So, nun muss man die Gleichung nach x(t) umstellen und hat die Lösung. Irgendwie fühl ich mich sehr unsicher, ob das alles so richtig war. Kann mir einer sagen, ob bis hierhin alles ok ist oder wo ich welche Fehler gemacht habe und wie es richtig laten würde?
Vielen Dank für jede hilfe
TheBozz-mismo
PS:Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Do 13.05.2010 | | Autor: | Calli |
> So, also ich habe erstmal die Gleichung umgeschrieben
> [mm]\bruch{x'(t)x(t)}{(x(t))^2+1}=t+1[/mm] und dann muss man ja auf
> beiden Seiten intergieren
> [mm]\integral\bruch{t}{t^2+1}[/mm] dt = [mm]\bruch{ln(|t^2+1|)}{2} + c [/mm]
Wieso auf einmal [mm] $\bruch{t}{t^2+1} \, [/mm] dt$ ???
Und wo ist die Funktion x(t) geblieben ???
Schreib erstmal auf beiden Seiten der Gleichung die Differentiale !
Also: [mm] $...\* [/mm] dx = [mm] ...\* [/mm] dt$
Ciao Calli
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Ja, stimmt, ok, das ist wohl was falsch gelaufen, doch wie das richtig geht, weiß ich nicht genau.
$ [mm] \bruch{x'(t)x(t)}{(x(t))^2+1}=t+1 [/mm] $
[mm] \integral \bruch{x'(t)x(t)}{(x(t))^2+1} dx=\integral [/mm] t+1 dt
[mm] \integral [/mm] t+1 dt= [mm] \bruch{t^2}{2} [/mm] +t+c
[mm] \integral \bruch{x'(t)x(t)}{(x(t))^2+1} dx=\integral \bruch{x}{x^2+1} [/mm] dx und genau da weiß ich nicht, ob das richtig ist. Also das x'(t) ist ja (x(t)x)/dt oder wie? Kann mir wer erklären, ob das richtig ist und wenn nicht, wie es richtig funktioniert?
Gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:56 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Calli |
> Ja, stimmt, ok, das ist wohl was falsch gelaufen, doch wie
> das richtig geht, weiß ich nicht genau.
> [mm]\bruch{x'(t)x(t)}{(x(t))^2+1}=t+1[/mm]
Also bis hier her stimmt's ja noch !
Aber dann:![[hot]](/images/smileys/hot.gif "[hot]")
[mm] $x'(t)=\bruch{dx}{dt}$
[/mm]
=>
[mm] $\bruch{x'(t)x(t)}{(x(t))^2+1}=\bruch{\bruch{dx}{dt}\cdot x(t)}{(x(t))^2+1}=t+1$
[/mm]
Und folgendes habe ich von Dir erwartet:
[mm] $\bruch{x(t)}{(x(t))^2+1}\cdot dx=(t+1)\;dt$
[/mm]
bzw. einfacher geschrieben:
[mm] $\bruch{x}{x^2+1}\cdot dx=(t+1)\;dt$
[/mm]
Ciao Calli
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Vielen Dank.Genau das war mein Problem.
So, also dann habe ich ja $ [mm] \bruch{x}{x^2+1}\cdot dx=(t+1)\;dt [/mm] $ und jetzt ein Integralzeichen davorschreiben und die Stammfunktionen berechen
[mm] \integral\bruch{x}{x^2+1} dx=\bruch{ln(x^2+1)}{2}+c1
[/mm]
[mm] \integral(t+1)\;dt=\bruch{t^2}{2}+t+c2
[/mm]
SO, und nun muss man die beiden gleichsetzen und dann nach x bzw. x(t) umstellen
[mm] \bruch{ln(x^2+1)}{2}=\bruch{t^2}{2}+t+c2(ich [/mm] habe links das c weggelassen, weil man ja O.E. sagen kann c1=c2, oder?)
Potenzieren und umstellen bringt mich dann zu
[mm] x^2=e^{2+\bruch{t^2}{2}}+e^{t+2} +e^{c+2} [/mm] -1
und nun noch die Wurzel ziehen [mm] \wurzel{e^{2+\bruch{t^2}{2}}+e^{t+2} +e^{c+2} -1}
[/mm]
Wenn das richtig ist, muss ich ja noch die Intervalle angeben, aber ich bin mir nicht sicher, ob das richtig ist.
Kann mir einer helfen und sagen, ob das richtig gerechnet ist und wenn nicht, wo der Fehler ist und wie es richtig geht?
Vielen Dank
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo TheBozz-mismo!
> SO, und nun muss man die beiden gleichsetzen und dann nach
> x bzw. x(t) umstellen
> [mm]\bruch{ln(x^2+1)}{2}=\bruch{t^2}{2}+t+c2(ich[/mm] habe links
> das c weggelassen, weil man ja O.E. sagen kann c1=c2, oder?)
Begründe anders: die beiden Konstanten [mm] $c_2-c_1$ [/mm] wurden zu einer neuen Konstante $c'_$ zusammengefasst.
> Potenzieren und umstellen bringt mich dann zu
Wie "potenzieren"? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
> [mm]x^2=e^{2+\bruch{t^2}{2}}+e^{t+2} +e^{c+2}[/mm] -1
Warum so kompliziert? Ich erhalte zunächst:
[mm] $$\ln\left(x^2+1\right) [/mm] \ = \ [mm] t^2+2*t+c [/mm] \ \ \ \ [mm] \text{mit} [/mm] \ \ \ c \ = \ 2*c'$$
Nun Du weiter ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:10 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo,
bevor du nun weiterrechnest: aus [mm] x'(t)x(t)=\bruch{(x(t))^2+1}{t+1} [/mm] wird nach Umstellen [mm] \bruch{x'(t)x(t)}{(x(t))^2+1}=\bruch{1}{t+1}
[/mm]
somit [mm] ln(x^2+1)=2ln(t+1)+c_1 [/mm] ( c1 kann danach nochmal umgeformt werden)
lg
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Sa 15.05.2010 | | Autor: | pitta |
Als Lösung hab ich jetzt:
(x(t))² = (t+1)²*c -1
1. Frage: Kann man noch weiter vereinfachen außer um alles ne wurzel zu setzen?
2. Frage: Ist das maximale Lösungsintervall dann, wenn (t+1)²*c -1 [mm] \ge [/mm] 0 , also t [mm] \ge \bruch{1}{\wurzel{c}} [/mm] - 1?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 So 16.05.2010 | | Autor: | Calli |
> Als Lösung hab ich jetzt:
>
> (x(t))² = (t+1)²*c -1
>
> 1. Frage: Kann man noch weiter vereinfachen außer um alles
> ne wurzel zu setzen?
Nö !
> 2. Frage: Ist das maximale Lösungsintervall dann, wenn
> (t+1)²*c -1 [mm]\ge[/mm] 0 , also t [mm]\ge \bruch{1}{\wurzel{c}}[/mm] - [mm] 1\;?
[/mm]
Ebenfalls Nö !
Es gilt:
[mm] $(t+1)^2 \ge \bruch{1}{ \wurzel{C}}\ge 0\;;\;(t\in\IR \quad [/mm] und [mm] \quad [/mm] C>0)$
was sich noch näher spezifizieren lässt !
Ciao Calli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 So 16.05.2010 | | Autor: | pitta |
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> > 2. Frage: Ist das maximale Lösungsintervall dann, wenn
> > (t+1)²*c -1 [mm]\ge[/mm] 0 , also t [mm]\ge \bruch{1}{\wurzel{c}}[/mm] -
> [mm]1\;?[/mm]
> Ebenfalls Nö !
>
> Es gilt:
> [mm](t+1)^2 \ge \bruch{1}{ \wurzel{C}}\ge 0\;;\;(t\in\IR \quad und \quad C>0)[/mm]
>
> was sich noch näher spezifizieren lässt !
>
> Ciao Calli
wie kommst du auf
[mm](t+1)^2 \ge \bruch{1}{ \wurzel{C}}\ge 0\;;\;(t\in\IR \quad und \quad C>0)[/mm]
also wieso die wurzel ums C ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:02 Mo 17.05.2010 | | Autor: | Calli |
> ...
> wie kommst du auf
>
> [mm](t+1)^2 \ge \bruch{1}{ \wurzel{C}}\ge 0\;;\;(t\in\IR \quad und \quad C>0)[/mm]
>
> also wieso die wurzel ums C ?
@pitta
Ach nee, die Wurzel ist natürlich voreilig !
Richtig ist:
[mm](t+1)^2 \ge \bruch{1}{C}\ge 0\;;\;(t\in\IR \quad und \quad C>0)[/mm]
Danke für den Hinweis !
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Hallo!
Ich habe was ähnliches raus als Lösung wie du, frage mich allerdings grade wie du auf [mm] (x(t))^2 [/mm] =(t+1)*c-1 gekommen bist.. also wo kommt das *c in deiner Lösung her? Müsste es nicht vielmehr ein [mm] +e^c [/mm] sein?
liebe Grüße
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Hallo Chrischina,
> Hallo!
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> Ich habe was ähnliches raus als Lösung wie du, frage mich
> allerdings grade wie du auf [mm](x(t))^2[/mm] =(t+1)*c-1 gekommen
> bist.. also wo kommt das *c in deiner Lösung her? Müsste
> es nicht vielmehr ein [mm]+e^c[/mm] sein?
Nach der ersten Integration steht da:
[mm]\bruch{1}{2}*\ln\left( \ x^{2}+1 \ \right)=\ln\left( \ t+1 \ \right)+c[/mm]
[mm]\gdw \ln\left( \ x^{2}+1 \ \right)=2*\ln\left( \ t+1 \ \right)+2c[/mm]
Nun wird auf beide Seiten die Exponentialfunktion angwandt:
[mm]\Rightarrow e^\ln\left( \ x^{2}+1 \ \right)}=e^{2*\ln\left( \ t+1 \ \right)+2c}[/mm]
[mm]\gdw x^{2}+1=\left(t+1\right)^2*e^{2c}[/mm]
Nun kann man eine neue Konstante k wie folgt definieren:
[mm]k:=e^{2c}[/mm]
Dann ist
[mm]x^{2}+1=\left(t+1\right)^{2}*k[/mm]
>
> liebe Grüße
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 So 16.05.2010 | | Autor: | Chrischina |
Alles klar,
vielen Dank für deine schnelle Hilfe :)
liebe grüße!!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
