Lösung von Diff.gleich. testen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:21 Fr 06.01.2012 | | Autor: | kendory |
| Aufgabe | Begründen sie, ob folgende Funktion Lösung der Differentialgleichung ist.
y' = [mm] $\bruch [/mm] {1}{3} + [mm] e^{y+x}$ [/mm] ; 0 < x < 2
y(x) = [mm] ln(($-\bruch {1}{2}e^x+6)^{-1})$ [/mm] |
Hallo,
ist der Rechenweg, den ich unten als *.jpg angefügt habe, richtig? Wenn ja, ginge es einfacher? Vorallem dort, wo ich rot markiert habe, fiel es mir sehr schwer alles aufzulösen.
In meinen mir vorhandenen Lösungen steht, dass es richtig sein soll, daher frage ich lieber nochmal nach, ob ich mich nicht doch irgendwo vertan habe.
Wer per wolfram ploten möchte:
1/3*e^(log(((-1/2)*e^x+6)^-1)+x) = (-e^x)/(e^x-12)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt und danke für eure Hilfe.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 Fr 06.01.2012 | | Autor: | meili |
Hallo kendory,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Begründen sie, ob folgende Funktion Lösung der
> Differentialgleichung ist.
>
> y' = [mm]\bruch {1}{3} + e^{y+x}[/mm] ; 0 < x < 2
> y(x) = ln(([mm]-\bruch {1}{2}e^x+6)^{-1})[/mm]
>
>
>
>
>
> Hallo,
> ist der Rechenweg, den ich unten als *.jpg angefügt habe,
> richtig? Wenn ja, ginge es einfacher? Vorallem dort, wo ich
> rot markiert habe, fiel es mir sehr schwer alles
> aufzulösen.
Rechenwege in Dateianhängen sind nicht so günstig,
denn sie lassen sich nicht zur Korrektur editieren.
>
> In meinen mir vorhandenen Lösungen steht, dass es richtig
> sein soll, daher frage ich lieber nochmal nach, ob ich mich
> nicht doch irgendwo vertan habe.
>
> Wer per wolfram ploten möchte:
> [mm][code]1/3*e^{log(((-1/2)*e^x+6)^-1)+x}[/mm] =
> [mm](-e^x)/(e^x-12)[/code][/mm]
Hast Du [mm]\bruch{1}{3}*e^{ln((-\bruch{1}{2}*e^x+6)^{-1})+x}[/mm] ploten lassen und mit dem Plot von
[mm]\bruch{-e^x}{e^x-12}[/mm] verglichen?
Als Gleichung stimmt das nicht.
Die Plots müssen sich durch einen Faktor unterscheiden.
Woher kommt der Faktor [mm] $\bruch{1}{3}$?
[/mm]
In der Differentialgleichung steht [mm] $\bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \ldots$
[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt und danke für eure Hilfe.
>
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Fr 06.01.2012 | | Autor: | kendory |
Danke schonmal für deinen Einsatz und die freundliche Begrüßung ;)
Hab mich bei der Aufgabenstellung hier vertippt. Sollte * statt + sein, werde das sofort ändern.
Und um meine Rechnung besser korrigierbar zu machen ist sie hier in Tex.
$y' = [mm] \bruch [/mm] {1}{3} * [mm] e^{y+x} [/mm] ; 0 < x < 2$
$y(x) = ln(( [mm] -\bruch {1}{2}e^x+6)^{-1})$
[/mm]
[mm] $y'=(-\bruch {1}{2}e^x+6) [/mm] * (-1) * [mm] (\bruch{1}{(-\bruch {1}{2}e^x+6)^2}) [/mm] * [mm] (-\bruch {1}{2}e^x)$
[/mm]
//Ableiten von y, erstes ist die äußere Ableitung von ln, danach nochmal Kettenregel äußere Ableitung, danach innere Ableitung
$=> y' = [mm] \bruch{e^x}{-e^x +12}$
[/mm]
// Alles zusammengefasst;linke Seite des Gleichzeichens der Diff.gleichung; hab dies auch als Ausdruck für wolfram benutzt, da es kürzer ist
[mm] $\bruch{1}{3} [/mm] + [mm] e^{y+x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] (e^{ln((-\bruch{1}{2}e^x+6)^{-1}}*e^x)$
[/mm]
// Term von y eingesetzt; Log.regel
$= [mm] \bruch [/mm] {1}{3} * [mm] (e^{ln((-\bruch {1}{2}e^x+6)^{-1})}*e^x)$
[/mm]
$= [mm] \bruch [/mm] {1}{3} * [mm] \bruch{e^x}{-\bruch {1}{2}e^x+6)}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{e^x}{-\bruch{3}{2}*e^x+18}$
[/mm]
// rechte Seite fertig; beides gleichsetzen
[mm] $\bruch{e^x}{-e^x + 1} [/mm] = [mm] \bruch{e^x}{-\bruch{3}{2}*e^x+18}$ [/mm]
[mm] $|:e^x [/mm] | * [mm] -\bruch{3}{2}*e^x+18$
[/mm]
[mm] $=\bruch{-\bruch{3}{2}*e^x+18}{-e^x + 12}=1$
[/mm]
[mm] $\bruch{3}{2}*\bruch{(-e^x + 12)}{(-e^x + 12)}=1
[/mm]
[mm] $\bruch{3}{2}=1$
[/mm]
Hoffe mal, dass ist so besser.
Gott, wasn Aufwand
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Hallo kendory,
> s.u.
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>
> Danke schonmal für deinen Einsatz und die freundliche
> Begrüßung ;)
>
> Hab mich bei der Aufgabenstellung hier vertippt. Sollte *
> statt + sein, werde das sofort ändern.
> Und um meine Rechnung besser korrigierbar zu machen ist
> sie hier in Tex.
>
> [mm]y' = \bruch {1}{3} * e^{y+x} ; 0 < x < 2[/mm]
> [mm]y(x) = ln(( -\bruch {1}{2}e^x+6)^{-1})[/mm]
>
> [mm]y'=(-\bruch {1}{2}e^x+6) * (-1) * (\bruch{1}{(-\bruch {1}{2}e^x+6)^2}) * (-\bruch {1}{2}e^x)[/mm]
>
> //Ableiten von y, erstes ist die äußere Ableitung von ln,
> danach nochmal Kettenregel äußere Ableitung, danach
> innere Ableitung
>
> [mm]=> y' = \bruch{e^x}{-e^x +12}[/mm]
>
> // Alles zusammengefasst;linke Seite des Gleichzeichens der
> Diff.gleichung; hab dies auch als Ausdruck für wolfram
> benutzt, da es kürzer ist
>
> [mm]\bruch{1}{3} + e^{y+x} = \bruch{1}{3} * (e^{ln((-\bruch{1}{2}e^x+6)^{-1}}*e^x)[/mm]
>
> // Term von y eingesetzt; Log.regel
>
> [mm]= \bruch {1}{3} * (e^{ln((-\bruch {1}{2}e^x+6)^{-1})}*e^x)[/mm]
>
> [mm]= \bruch {1}{3} * \bruch{e^x}{-\bruch {1}{2}e^x+6)}[/mm]
> [mm]= \bruch{e^x}{-\bruch{3}{2}*e^x+18}[/mm]
>
> // rechte Seite fertig; beides gleichsetzen
>
> [mm]\bruch{e^x}{-e^x + 1} = \bruch{e^x}{-\bruch{3}{2}*e^x+18}[/mm]
> [mm]|:e^x | * -\bruch{3}{2}*e^x+18[/mm]
>
> [mm]=\bruch{-\bruch{3}{2}*e^x+18}{-e^x + 12}=1[/mm]
>
> [mm]$\bruch{3}{2}*\bruch{(-e^x + 12)}{(-e^x + 12)}=1[/mm]
>
> [mm]\bruch{3}{2}=1[/mm]
>
Deine Rechnung ist richtig.
> Hoffe mal, dass ist so besser.
>
> Gott, wasn Aufwand
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Fr 06.01.2012 | | Autor: | kendory |
Ginge der untere Teil nach dem Gleichsetzen irgendwie einfacher zu lösen? Habe wirklich lange gebraucht, bis ich darauf kam.
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Hallo kendory,
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> Ginge der untere Teil nach dem Gleichsetzen irgendwie
> einfacher zu lösen? Habe wirklich lange gebraucht, bis ich
> darauf kam.
>
Du kannst auf der rechten Seite im Nenner [mm]\bruch{3}{2}[/mm] ausklammern.
Gruss
MathePower
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