Lösung lin. Diff. n-ter Ord. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:58 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Lustique |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Es seien $a_0,\dotsc,a_{n-1}\in\mathbb{C}$. Betrachten Sie
$Lx := x^{(n)}+ a_{n-1}x^{(n-1)}+ \dotsb + a_1\dot{x} + a_0x.$
Es sei $\alpha \in \mathbb{C}$ eine $k$-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms $p$ zu $Lx = 0$, d.h. es ist
$p(\lambda) = q(\lambda)(\lambda - \alpha)^k$ mit $q(\alpha) \neq 0$, wobei $k = 0$ zugelassen ist. Zeigen Sie:
a) Für $s \in \mathbb{N}_0$ und $c \in \mathbb{C}\setminus\{0\}$ hat die Gleichung $Lx = ct^s\mathrm{e}^{\alpha t}$ eine Lösung der Form $x(t) = r(t)\mathrm{e}^{\alpha t}$, wobei $r$ ein Polynom vom Grad $k + s$ ist.
b) Zeigen Sie, dass man in a) $r(t) = t^k r_1(t)$ wählen kann, wobei $r_1$ ein Polynom vom Grad $s$ ist.
Hinweis:
Zu a): Zeigen Sie für $\lambda$ nahe $\alpha$, dass $L(q(\lambda)^{-1}\mathrm{e}^{\lambda t}) = (\lambda - \alpha)^k\mathrm{e}^{\lambda t}$ gilt. Dann differenzieren Sie diese Gleichung mit Hilfe der Leibniz-Formel $(k + s)$-mal nach $\lambda$ und bilden Sie dann den Grenzwert $\lambda\to\alpha.$
Zu b): Was ist $L(t^j \mathrm{e}^{\alpha t})$ für $j < k$? |
Hallo zusammen,
ich könnte schon wieder eure Hilfe gebrauchen, da ich beim ersten Teil der Aufgabe schon nicht weiterkomme. Ich habe bis jetzt den ersten Teil des Hinweises gezeigt, also dass $L(q(\lambda)^{-1}\mathrm{e}^{\lambda t}) = (\lambda - \alpha)^k\mathrm{e}^{\lambda t}$ gilt, und habe dann auch $(k + s)$-mal nach $\lambda$ abgeleitet, aber ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie mich das weiterbringen soll. (Ich benötige also einen Hinweis zum Hinweis :/) Ich denke mal, das sollte ich eigentlich wissen und es ist vollkommen trivial, aber ich komme trotzdem nicht darauf, wie danach weiter vorzugehen ist. Ich beschreibe unten mal, wie bei mir das Ableiten abgelaufen ist. Vielleicht ist dabei ja bei mir auch was schief gelaufen, und mir ist deswegen nicht klar, wie es hier weitergehen soll...
$\frac{\mathrm{d}^{k+s}}{\mathrm{d}\lambda^{k+s}}\left((\lambda - \alpha)^k\mathrm{e}^{\lambda t}\right)$
$ = \sum_{j=0}^{k+s}\binom{k+s}{j}\frac{\mathrm{d}^{j}}{\mathrm{d}\lambda^{j}}\left(\mathrm{e}^{\lambda t}\right)\cdot\frac{\mathrm{d}^{k+s-j}}{\mathrm{d}\lambda^{k+s-j}}\left((\lambda - \alpha)^k\right)$
$ = \sum_{j=s}^{k+s}\binom{k+s}{j}\frac{\mathrm{d}^{j}}{\mathrm{d}\lambda^{j}}\left(\mathrm{e}^{\lambda t}\right)\cdot\frac{\mathrm{d}^{k+s-j}}{\mathrm{d}\lambda^{k+s-j}}\left((\lambda - \alpha)^k\right)$
$ = \sum_{j=0}^{k}\binom{k+s}{j+s}\frac{\mathrm{d}^{j+s}}{\mathrm{d}\lambda^{j+s}}\left(\mathrm{e}^{\lambda t}\right)\cdot\frac{\mathrm{d}^{k-j}}{\mathrm{d}\lambda^{k-j}}\left((\lambda - \alpha)^k\right)$
$ = \sum_{j=0}^{k}\binom{k+s}{j+s}t^{j+s}\mathrm{e}^{\lambda t}\cdot\frac{k!}{(k-j)!}}(\lambda-\alpha)^{k-j}$
$ = \mathrm{e}^{\lambda t} \left(\sum_{j=0}^{k}\binom{k+s}{j+s}t^{j+s}\cdot\frac{k!}{(k-j)!}}(\lambda-\alpha)^{k-j}\right) $
$ \overset{\lambda \to \alpha}{\longrightarrow} \mathrm{e}^{\alpha t}\left( \binom{k+s}{k+s}t^{k+s}\cdot k!(\alpha-\alpha)^{0}\right) \right)= \mathrm{e}^{\alpha t}\dot t^{k+s}\cdot k!$
Könnt ihr mir hier weiterhelfen, bzw. findet jemand einen Fehler?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Lustique |
Die Frage ist so in dieser Form mittlerweile hinfällig und kann geschlossen/gelöscht werden. (Ich habe mich da irgendwo bei der Ableitung vertan, eventuell auch nur bei der Indexverschiebung...)
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