Lösung gekoppelter Diff.gl. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Sa 26.04.2008 | | Autor: | tobbeu |
Hallo!
Folgendes Problem: zwei Massen sind in 3 Federn eingespannt. Dieses System kann durch zwei gekoppelte Differentialgleichungen 2.Ordnung beschrieben werden.
Hier:
[mm] y_{1}''=y_{2}-2y_{1}
[/mm]
[mm] y_{2}''=y_1-y_2
[/mm]
Ich habe ich der Uni zwei Methoden kennen gelernt dies zu lösen.
1) man forme obige Gleichungen in Matrixschreibweise um, also [mm] \vektor{y_{1}'' \\ y_{2}''}=\pmat{ -2 & 1 \\ 1 & -2 }*\vektor{y_1 \\ y_2}
[/mm]
Dann diagonalisiere man die mittige Matrix, und man hat (wenn die y's mittransformiert werden) zwei entkoppelte Differentialgleichungen, die man dann "einfach" lösen kann.
Hier wären das:
[mm] x_{1}''=-3x_1
[/mm]
[mm] x_{2}''=-x_2
[/mm]
Wie löse ich diese beiden Gleichungen nun allgemein??
In meinem Skript steht, man kann die Lösungen "leicht" (find ich nicht) angeben als:
[mm] x_1(t)=c_1cos(\wurzel{3}t)+c_2sin(\wurzel{3}t)
[/mm]
[mm] x_2(t)=c_3cos(t)+c_4sin(t)
[/mm]
Ist es also möglich immer allgemein [mm] x=c_1cos(\lambda*t)+c_2sin(\lambda*t) [/mm] als Lösung anzusetzen?
Ich hätte nämlich eher [mm] x(t)=c*e^{\lambda*t} [/mm] angesetzt.
Als Ergebnis bekomme ich:
[mm] x_1(t)=c_1cos(\wurzel{3}t)+ic_2sin(\wurzel{3}t)
[/mm]
[mm] x_2(t)=c_3cos(-\wurzel{3}t)+ic_2sin(-\wurzel{3}t)
[/mm]
Meine erste Lösung [mm] x_1(t) [/mm] sieht der Musterlösung zumindest dann ähnlich, wenn ich das i in die Konstante [mm] c_2 [/mm] ziehe, wenn das geht. Aber [mm] x_2(t) [/mm] ? Warum geht das so nicht??
Ich gehe einfach mal davon aus, dass es mit dem allgemeinen Ansatz [mm] x(t)=c*e^{\lambda*t} [/mm] bei entkoppelten Gleichungen immer gehen muss, da ich diesen schon von der Lösung von einfachen Schwingungsvorgängen her kenne...
2) Die zweie Möglichkeit ist ja, das System 2.Ordnung auf ein System 1.Ordnung umzuwandeln.
Hier erhalte ich mit zusätzlicher Definition von [mm] y_3:=y_1' [/mm] und [mm] y_4:=y_2' [/mm] die Matrix:
[mm] \vektor{y_1' \\ y_2' \\ y_3' \\ y_4'}=\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 0 }*\vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4}
[/mm]
Mit dieser Matrix würde ich jetzt das selbe tun wie oben, nämlich diagonalisieren, und entkoppeln. Wenn ich das tue, bekomme ich aber komplexe Eigenwerte, komplexe Eigenvektoren etc, und das ganze wird verdammt eklig.
Darf ich das so verstehen, dass die Variante "auf 1.Ordnung reduzieren" eine Variante ist, aber HIER zu umständlich? Dass es mit der ersten Variante besser geht? Wenn man eben wüsste wie man bei der ersten Variante die Lösung ansetzt ;)
Allerbesten Dank für jegliche Hilfe!!!!
Tobi
|
|
| |
|
Hallo tobbeu,
> Hallo!
>
> Folgendes Problem: zwei Massen sind in 3 Federn
> eingespannt. Dieses System kann durch zwei gekoppelte
> Differentialgleichungen 2.Ordnung beschrieben werden.
> Hier:
> [mm]y_{1}''=y_{2}-2y_{1}[/mm]
> [mm]y_{2}''=y_1-y_2[/mm]
>
> Ich habe ich der Uni zwei Methoden kennen gelernt dies zu
> lösen.
>
> 1) man forme obige Gleichungen in Matrixschreibweise um,
> also [mm]\vektor{y_{1}'' \\ y_{2}''}=\pmat{ -2 & 1 \\ 1 & -2 }*\vektor{y_1 \\ y_2}[/mm]
>
> Dann diagonalisiere man die mittige Matrix, und man hat
> (wenn die y's mittransformiert werden) zwei entkoppelte
> Differentialgleichungen, die man dann "einfach" lösen
> kann.
> Hier wären das:
> [mm]x_{1}''=-3x_1[/mm]
> [mm]x_{2}''=-x_2[/mm]
>
> Wie löse ich diese beiden Gleichungen nun allgemein??
> In meinem Skript steht, man kann die Lösungen "leicht"
> (find ich nicht) angeben als:
> [mm]x_1(t)=c_1cos(\wurzel{3}t)+c_2sin(\wurzel{3}t)[/mm]
> [mm]x_2(t)=c_3cos(t)+c_4sin(t)[/mm]
>
> Ist es also möglich immer allgemein
> [mm]x=c_1cos(\lambda*t)+c_2sin(\lambda*t)[/mm] als Lösung
> anzusetzen?
> Ich hätte nämlich eher [mm]x(t)=c*e^{\lambda*t}[/mm] angesetzt.
Das ist ja auch richtig.
> Als Ergebnis bekomme ich:
> [mm]x_1(t)=c_1cos(\wurzel{3}t)+ic_2sin(\wurzel{3}t)[/mm]
> [mm]x_2(t)=c_3cos(-\wurzel{3}t)+ic_2sin(-\wurzel{3}t)[/mm]
>
> Meine erste Lösung [mm]x_1(t)[/mm] sieht der Musterlösung zumindest
> dann ähnlich, wenn ich das i in die Konstante [mm]c_2[/mm] ziehe,
> wenn das geht. Aber [mm]x_2(t)[/mm] ? Warum geht das so nicht??
Wähle [mm]c_{2}[/mm] so, daß [mm]i*c_{2}[/mm] reell wird.
>
> Ich gehe einfach mal davon aus, dass es mit dem allgemeinen
> Ansatz [mm]x(t)=c*e^{\lambda*t}[/mm] bei entkoppelten Gleichungen
> immer gehen muss, da ich diesen schon von der Lösung von
> einfachen Schwingungsvorgängen her kenne...
>
> 2) Die zweie Möglichkeit ist ja, das System 2.Ordnung auf
> ein System 1.Ordnung umzuwandeln.
> Hier erhalte ich mit zusätzlicher Definition von [mm]y_3:=y_1'[/mm]
> und [mm]y_4:=y_2'[/mm] die Matrix:
> [mm]\vektor{y_1' \\ y_2' \\ y_3' \\ y_4'}=\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 0 }*\vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4}[/mm]
>
> Mit dieser Matrix würde ich jetzt das selbe tun wie oben,
> nämlich diagonalisieren, und entkoppeln. Wenn ich das tue,
> bekomme ich aber komplexe Eigenwerte, komplexe
> Eigenvektoren etc, und das ganze wird verdammt eklig.
>
> Darf ich das so verstehen, dass die Variante "auf 1.Ordnung
> reduzieren" eine Variante ist, aber HIER zu umständlich?
> Dass es mit der ersten Variante besser geht? Wenn man eben
> wüsste wie man bei der ersten Variante die Lösung ansetzt
> ;)
Die Ansätze sind immer dieselben.
>
> Allerbesten Dank für jegliche Hilfe!!!!
Nach dem Du diagonalisiert hast, sieht die entkoppelte DGL so aus:
[mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2}}''=\pmat{\lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2}}*\pmat{x_{1} \\ x_{2}}[/mm]
Der Ansatz ist wie bei einer DGL:
[mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2}}=\pmat{ e^{r_{1}t} \\ e^{r_{2}t}}[/mm]
Hier ist [mm]r_{i}^{2}=\lambda_{i}[/mm]
>
> Tobi [mm] \
[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Sa 26.04.2008 | | Autor: | tobbeu |
Hallo, vielen Dank! Meine Gedankengänge sind also doch nicht ganz verkehrt...
> >
> > 2) Die zweie Möglichkeit ist ja, das System 2.Ordnung auf
> > ein System 1.Ordnung umzuwandeln.
> > Hier erhalte ich mit zusätzlicher Definition von
> [mm]y_3:=y_1'[/mm]
> > und [mm]y_4:=y_2'[/mm] die Matrix:
> > [mm]\vektor{y_1' \\ y_2' \\ y_3' \\ y_4'}=\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 0 }*\vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4}[/mm]
>
> >
> > Mit dieser Matrix würde ich jetzt das selbe tun wie oben,
> > nämlich diagonalisieren, und entkoppeln. Wenn ich das tue,
> > bekomme ich aber komplexe Eigenwerte, komplexe
> > Eigenvektoren etc, und das ganze wird verdammt eklig.
> >
> > Darf ich das so verstehen, dass die Variante "auf 1.Ordnung
> > reduzieren" eine Variante ist, aber HIER zu umständlich?
> > Dass es mit der ersten Variante besser geht? Wenn man eben
> > wüsste wie man bei der ersten Variante die Lösung ansetzt
> > ;)
>
> Die Ansätze sind immer dieselben.
>
Das schon, aber dieser Weg scheint mir tausendmal schwieriger zu sein, wie gesagt, da ich komplexe Eigenwerte bekomme. Wäre es also hier eher von Vorteil gleich die entkoppelten DGL 2.Ordnung zu lösen, als alles auf 1.Ordnung zu reduzieren?
Wenn ich das nämlich tue, kenne ich nur den Ansatz
[mm] x_i'=\lambda_i*x_i [/mm] erhält man ja über Diagonalisierung
mit den Lösungen
[mm] x_i(t)=c_i*e^{\lambda_i*t}*\underline{e}_i
[/mm]
Der Einheitsvektor am Ende wird dann bei der Rücktransformation zum Eigenvektor [mm] \underline{a}_i
[/mm]
also ist die entgültige Lösung
[mm] y_i(t)=e^{\lambda_i*t}*\underline{a_i}
[/mm]
Auf diesem Weg verrenne ich mich aber in komplizierteste Rechnungen, da eben die Eigenvektoren komplex werden.
> >
> > Allerbesten Dank für jegliche Hilfe!!!!
>
> Nach dem Du diagonalisiert hast, sieht die entkoppelte DGL
> so aus:
>
> [mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2}}''=\pmat{\lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2}}*\pmat{x_{1} \\ x_{2}}[/mm]
>
> Der Ansatz ist wie bei einer DGL:
>
> [mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2}}=\pmat{ e^{r_{1}t} \\ e^{r_{2}t}}[/mm]
>
> Hier ist [mm]r_{i}^{2}=\lambda_{i}[/mm]
>
Hier bekomme ich aber pro Eigenwert (bei meinem Bsp [mm] \lambda_i [/mm] = -3 zwei Lösungen, nämlich
[mm] x_1(t)=c_1cos(\wurzel{3}t)+ic_2sin(\wurzel{3}t)
[/mm]
[mm] x_2(t)=c_3cos(-\wurzel{3}t)+ic_4sin(-\wurzel{3}t)
[/mm]
Wie komme ich darauf die erste für den EW -3 zu wählen??
> >
> > Tobi [mm]\[/mm]
>
> Gruß
> MathePower
Vielen Dank und Gruß,
Tobi
|
|
|
| |
|
Hallo tobbeu,
> Hallo, vielen Dank! Meine Gedankengänge sind also doch
> nicht ganz verkehrt...
> > >
> > > 2) Die zweie Möglichkeit ist ja, das System 2.Ordnung auf
> > > ein System 1.Ordnung umzuwandeln.
> > > Hier erhalte ich mit zusätzlicher Definition von
> > [mm]y_3:=y_1'[/mm]
> > > und [mm]y_4:=y_2'[/mm] die Matrix:
> > > [mm]\vektor{y_1' \\ y_2' \\ y_3' \\ y_4'}=\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 0 }*\vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Mit dieser Matrix würde ich jetzt das selbe tun wie oben,
> > > nämlich diagonalisieren, und entkoppeln. Wenn ich das tue,
> > > bekomme ich aber komplexe Eigenwerte, komplexe
> > > Eigenvektoren etc, und das ganze wird verdammt eklig.
> > >
> > > Darf ich das so verstehen, dass die Variante "auf 1.Ordnung
> > > reduzieren" eine Variante ist, aber HIER zu umständlich?
> > > Dass es mit der ersten Variante besser geht? Wenn man eben
> > > wüsste wie man bei der ersten Variante die Lösung ansetzt
> > > ;)
> >
> > Die Ansätze sind immer dieselben.
> >
>
> Das schon, aber dieser Weg scheint mir tausendmal
> schwieriger zu sein, wie gesagt, da ich komplexe Eigenwerte
> bekomme. Wäre es also hier eher von Vorteil gleich die
> entkoppelten DGL 2.Ordnung zu lösen, als alles auf
> 1.Ordnung zu reduzieren?
>
> Wenn ich das nämlich tue, kenne ich nur den Ansatz
> [mm]x_i'=\lambda_i*x_i[/mm] erhält man ja über Diagonalisierung
> mit den Lösungen
> [mm]x_i(t)=c_i*e^{\lambda_i*t}*\underline{e}_i[/mm]
> Der Einheitsvektor am Ende wird dann bei der
> Rücktransformation zum Eigenvektor [mm]\underline{a}_i[/mm]
> also ist die entgültige Lösung
> [mm]y_i(t)=e^{\lambda_i*t}*\underline{a_i}[/mm]
>
> Auf diesem Weg verrenne ich mich aber in komplizierteste
> Rechnungen, da eben die Eigenvektoren komplex werden.
>
> > >
> > > Allerbesten Dank für jegliche Hilfe!!!!
> >
> > Nach dem Du diagonalisiert hast, sieht die entkoppelte DGL
> > so aus:
> >
> > [mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2}}''=\pmat{\lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2}}*\pmat{x_{1} \\ x_{2}}[/mm]
>
> >
> > Der Ansatz ist wie bei einer DGL:
> >
> > [mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2}}=\pmat{ e^{r_{1}t} \\ e^{r_{2}t}}[/mm]
> >
>
> > Hier ist [mm]r_{i}^{2}=\lambda_{i}[/mm]
> >
> Hier bekomme ich aber pro Eigenwert (bei meinem Bsp
> [mm]\lambda_i[/mm] = -3 zwei Lösungen, nämlich
> [mm]x_1(t)=c_1cos(\wurzel{3}t)+ic_2sin(\wurzel{3}t)[/mm]
> [mm]x_2(t)=c_3cos(-\wurzel{3}t)+ic_4sin(-\wurzel{3}t)[/mm]
>
> Wie komme ich darauf die erste für den EW -3 zu wählen??
Diese 2 Lösungen können ineinander überführt werden, wenn Du [mm]c_{3}=c_{1}, \ c_{4}=-c_{2}[/mm] wählst.
In sofern ist es egal welche Lösung Du nimmst.
Die Lösungen ergeben sich ja zu:
[mm]x\left(t\right)=k_{1}*e^{i*\wurzel{3}*t}+k_{2}*e^{-i*\wurzel{3}*t}[/mm]
[mm]=k_{1}*\left( \cos\left(\wurzel{4}*t\right)+i*\sin\left(\wurzel{3}*t\right)\right)+k_{2}*\left( \cos\left(\wurzel{4}*t\right)-i*\sin\left(\wurzel{3}*t\right)\right)[/mm]
[mm]=\left(k_{1}+k_{2}\right)*\cos\left(\wurzel{3}*t\right)+i*\left(k_{1}-k_{2}\right)*\sin\left(\wurzel{3}*t\right)[/mm]
Wähle hier [mm]k_{2}[/mm] so, daß
[mm]i*\left(k_{1}-k_{2}\right) \in \IR[/mm]
Dies ist genau dann der Fall, wenn [mm]k_{2}=\overline{k_{1}}[/mm]
Dann ergibt sich:
[mm]k_{1}+k_{2} = 2* Re \ k_{1}[/mm]
[mm]k_{1}-k_{2} = 2* Im \ k_{1}[/mm]
Das ist dann die reelle Lösung.
> > >
> > > Tobi [mm]\[/mm]
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
>
> Vielen Dank und Gruß,
> Tobi
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Sa 26.04.2008 | | Autor: | tobbeu |
Stimmt ja, richtig! Danke!
Ich hatte da noch ne Frage stehen (wahrscheinlich übersehen)...
Ich habs hier unten nochmal eingefügt.
Danke auch dafür ;)
Gruß, Tobi
> > > > 2) Die zweie Möglichkeit ist ja, das System 2.Ordnung auf
> > > > ein System 1.Ordnung umzuwandeln.
> > > > Hier erhalte ich mit zusätzlicher Definition von
> > > [mm]y_3:=y_1'[/mm]
> > > > und [mm]y_4:=y_2'[/mm] die Matrix:
> > > > [mm]\vektor{y_1' \\ y_2' \\ y_3' \\ y_4'}=\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 0 }*\vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Mit dieser Matrix würde ich jetzt das selbe tun wie oben,
> > > > nämlich diagonalisieren, und entkoppeln. Wenn ich das tue,
> > > > bekomme ich aber komplexe Eigenwerte, komplexe
> > > > Eigenvektoren etc, und das ganze wird verdammt eklig.
> > > >
> > > > Darf ich das so verstehen, dass die Variante "auf 1.Ordnung
> > > > reduzieren" eine Variante ist, aber HIER zu umständlich?
> > > > Dass es mit der ersten Variante besser geht? Wenn man eben
> > > > wüsste wie man bei der ersten Variante die Lösung ansetzt
> > > > ;)
> > >
> > > Die Ansätze sind immer dieselben.
> > >
> >
> > Das schon, aber dieser Weg scheint mir tausendmal
> > schwieriger zu sein, wie gesagt, da ich komplexe Eigenwerte
> > bekomme. Wäre es also hier eher von Vorteil gleich die
> > entkoppelten DGL 2.Ordnung zu lösen, als alles auf
> > 1.Ordnung zu reduzieren?
> >
> > Wenn ich das nämlich tue, kenne ich nur den Ansatz
> > [mm]x_i'=\lambda_i*x_i[/mm] erhält man ja über Diagonalisierung
> > mit den Lösungen
> > [mm]x_i(t)=c_i*e^{\lambda_i*t}*\underline{e}_i[/mm]
> > Der Einheitsvektor am Ende wird dann bei der
> > Rücktransformation zum Eigenvektor [mm]\underline{a}_i[/mm]
> > also ist die entgültige Lösung
> > [mm]y_i(t)=e^{\lambda_i*t}*\underline{a_i}[/mm]
> >
> > Auf diesem Weg verrenne ich mich aber in komplizierteste
> > Rechnungen, da eben die Eigenvektoren komplex werden.
|
|
|
| |
|
Hallo tobbeu,
> Stimmt ja, richtig! Danke!
> Ich hatte da noch ne Frage stehen (wahrscheinlich
> übersehen)...
> Ich habs hier unten nochmal eingefügt.
> Danke auch dafür ;)
> Gruß, Tobi
>
>
>
>
> > > > > 2) Die zweie Möglichkeit ist ja, das System 2.Ordnung auf
> > > > > ein System 1.Ordnung umzuwandeln.
> > > > > Hier erhalte ich mit zusätzlicher Definition
> von
> > > > [mm]y_3:=y_1'[/mm]
> > > > > und [mm]y_4:=y_2'[/mm] die Matrix:
> > > > > [mm]\vektor{y_1' \\ y_2' \\ y_3' \\ y_4'}=\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 0 }*\vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Mit dieser Matrix würde ich jetzt das selbe tun wie oben,
> > > > > nämlich diagonalisieren, und entkoppeln. Wenn ich das tue,
> > > > > bekomme ich aber komplexe Eigenwerte, komplexe
> > > > > Eigenvektoren etc, und das ganze wird verdammt eklig.
> > > > >
> > > > > Darf ich das so verstehen, dass die Variante "auf 1.Ordnung
> > > > > reduzieren" eine Variante ist, aber HIER zu umständlich?
> > > > > Dass es mit der ersten Variante besser geht? Wenn man eben
> > > > > wüsste wie man bei der ersten Variante die Lösung ansetzt
> > > > > ;)
> > > >
> > > > Die Ansätze sind immer dieselben.
> > > >
> > >
> > > Das schon, aber dieser Weg scheint mir tausendmal
> > > schwieriger zu sein, wie gesagt, da ich komplexe Eigenwerte
> > > bekomme. Wäre es also hier eher von Vorteil gleich die
> > > entkoppelten DGL 2.Ordnung zu lösen, als alles auf
> > > 1.Ordnung zu reduzieren?
Sicher ist das ein Vorteil gleich die entkoppelten DGL's zu lösen.
> > >
> > > Wenn ich das nämlich tue, kenne ich nur den Ansatz
> > > [mm]x_i'=\lambda_i*x_i[/mm] erhält man ja über Diagonalisierung
> > > mit den Lösungen
> > > [mm]x_i(t)=c_i*e^{\lambda_i*t}*\underline{e}_i[/mm]
> > > Der Einheitsvektor am Ende wird dann bei der
> > > Rücktransformation zum Eigenvektor [mm]\underline{a}_i[/mm]
> > > also ist die entgültige Lösung
> > > [mm]y_i(t)=e^{\lambda_i*t}*\underline{a_i}[/mm]
> > >
> > > Auf diesem Weg verrenne ich mich aber in komplizierteste
> > > Rechnungen, da eben die Eigenvektoren komplex werden.
>
Teile die Lösung [mm]y_{i}\left(t\right)[/mm] in Real -und Imaginärteil auf.
Real- und Imaginärteil für sich genommen sind auch Lösungen des Systems.
Gruß
MathePower
|
|
|
|
