Lösung f. von lambda abh. LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche [mm] \lambda\in\IR [/mm] ist das lineare Gleichungssystem (LGS)
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] \lambda x_3 [/mm] = 0,
[mm] -x_1 [/mm] + [mm] \lambda x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 1,
[mm] x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
in [mm] \IR [/mm] eindeutig lösbar? |
Hallo liebes Forum,
Um o.g. Aufgabe lösen zu können, stelle ich zunächst die zum LGS gehörige (erweiterte) [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix A|b mit b als Lösungsvektor (0, 1, [mm] \lambda) [/mm] auf.
(*) Ein Satz aus meinem Skript besagt, daß ein LGS in o.a. Form genau dann eindeutig lösbar ist, wenn der Spaltenrang von A gleich dem Spaltenrang von A|b ist (also S'Rang(A) = S'Rang(A|b) = n).
Die Matrix A|b sieht folgendermaßen aus:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & \lambda & 0 \\
-1 & \lambda & 1 & 1 \\
1 & -1 & 0 & \lambda }
[/mm]
Um (*) anzuwenden, möchte ich A|b durch elementare Zeilenumformungen in eine Zeilenstufenmatrix umzuwandeln, so daß der (Spalten-)Rang von A|b unmittelbar ablesbar ist. Meine "Hoffnung" ist dabei, daß ausschließlich im Lösungsvektor die [mm] $\lambda$-Werte [/mm] vorhanden sind und damit die Lösung zur Aufgabe abzulesen ist.
- Klappt leider nicht so ganz :-(
Ich erhalte nach elementaren Zeilenumformungen (sind einige Zwischenschritte, aber ich habe es mehrfach nachgerechnet, so daß keine Rechenfehler vorhanden sind) folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & \frac{\lambda}{2} & \frac{\lambda}{2} \\
0 & 1 & \frac{\lambda}{2} & -\frac{\lambda}{2} \\
0 & \lambda+1 & \lambda+1 & 1 }
[/mm]
Problem: Die dritte Zeile kann nicht einfach durch [mm] $\lambda+1$ [/mm] geteilt werden, weil dadurch im Falle [mm] $\lambda [/mm] = -1$ durch 0 geteilt wird.
Kann ich einfach als Restriktion festlegen, daß [mm] $\lambda\neq [/mm] -1$ ?
Und ist der Weg überhaupt der richtige ...?
Für eine Hilfe wäre ich Euch superdankbar!
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Es ist natürlich A eine [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix und A|b eine [mm] $m\times [/mm] (n+1)$-Matrix. Sorry für den Tippfehler.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 Fr 27.07.2007 | | Autor: | Somebody |
> Für welche [mm]\lambda\in\IR[/mm] ist das lineare Gleichungssystem
> (LGS)
>
> [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]\lambda x_3[/mm] = 0,
> [mm]-x_1[/mm] + [mm]\lambda x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] = 1,
> [mm]x_1[/mm] - [mm]x_2[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
>
> in [mm]\IR[/mm] eindeutig lösbar?
> Hallo liebes Forum,
>
> Um o.g. Aufgabe lösen zu können, stelle ich zunächst die
> zum LGS gehörige (erweiterte) [mm]m\times n[/mm]-Matrix A|b mit b
> als Lösungsvektor (0, 1, [mm]\lambda)[/mm] auf.
>
> (*) Ein Satz aus meinem Skript besagt, daß ein LGS in o.a.
> Form genau dann eindeutig lösbar ist, wenn der Spaltenrang
> von A gleich dem Spaltenrang von A|b ist (also S'Rang(A) =
> S'Rang(A|b) = n).
Bist Du sicher? - Dass der Spaltenrang von $A|b$ gleich dem Spaltenrang von $A$ ist, bedeutet doch nur, dass $b$ im Spaltenraum von $A$ liegt. Das heisst, dass es Skalare gibt (d.h. eine Lösung des Gleichungssystems), die $b$ als Linearkombination der Spaltenenvektoren von $A$ liefern. Weshalb aber aus diesem Rangkriterium Eindeutigkeit der Lösung des Gleichungssystems folgen soll, ist mir nicht klar. Betrachte als Gegenbeispiel etwa das System:
[mm]\pmat{1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0}\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{1\\1\\0}[/mm]
Hier sind doch die Spaltenränge von $A$ und $A|b$ gleich, nicht? Aber das System hat unendlich viele Lösungen [mm] ($x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] sind eindeutig bestimmt, aber [mm] $x_3$ [/mm] kann beliebig gewählt werden).
Ah, ich sehe erst nachträglich, dass Du zusätzlich für die Koeffizientenmatrix Regularität verlangst (wenngleich nur so nebenbei in Klammern bemerkt, also ob dies nur eine Umformulierung des vorher geschriebenen wäre).
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Hi,
deine Matrix [mm] \pmat{ 1 & 0 & \frac{\lambda}{2} & \frac{\lambda}{2} \\ 0 & 1 & \frac{\lambda}{2} & -\frac{\lambda}{2} \\ 0 & \lambda+1 & \lambda+1 & 1 } [/mm] ist ja noch gar nicht in Zeilenstufenform 
Du solltest noch das [mm] -(\lambda+1)fache [/mm] der 2.Zeile zur 3.Zeile addieren.
(und anschließend die 3.Zeile [mm] \cdot{}(-2))
[/mm]
Dann erhältst du:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & \frac{\lambda}{2} & \frac{\lambda}{2} \\ 0 & 1 & \frac{\lambda}{2} & -\frac{\lambda}{2} \\ 0 & 0 & \lambda^2-\lambda-2 & -\lambda^2-\lambda-2} [/mm] bzw.
[mm] \pmat{ 1 & 0 & \frac{\lambda}{2} & \frac{\lambda}{2} \\ 0 & 1 & \frac{\lambda}{2} & -\frac{\lambda}{2} \\ 0 & 0 & (\lambda+1)(\lambda-2) & -\lambda^2-\lambda-2}
[/mm]
Bis hierher waren alle Umformungen ohne Einschränkungen für [mm] \lambda [/mm] gemacht worden
Und hier kannst du doch die Lösbarkeit doch relativ gut ablesen:
(Beachte, dass [mm] -\lambda^2-\lambda-2 [/mm] keine reellen NST hat)
Im Falle [mm] $\lambda\ne [/mm] -1 [mm] \wedge \lambda\ne [/mm] 2$ kannst du in der letzten Zeile durch [mm] (\lambda+1)(\lambda-2) [/mm] teilen und hast:
[mm] x_3=\frac{ -\lambda^2-\lambda-2}{(\lambda+1)(\lambda-2)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_2=... [/mm] und [mm] x_1=...
[/mm]
Also ne eindeutige Lösung.
Dann kannst du noch die ausgeschlossenen Fälle separat betrachten.
2.Fall: [mm] \lambda=2
[/mm]
Dann steht in der 3.Zeile....
3.Fall: [mm] \lambda=-1
[/mm]
Dann ergibt die 3.Zeile...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:38 Fr 27.07.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo schachuzipus!
> Bis hierher waren alle Umformungen ohne Einschränkungen für
> [mm]\lambda[/mm] gemacht worden
Naja, durch die Multiplikation mit dem Term [mm] $(\lambda+1)$ [/mm] habe ich doch bereits hier die Einschränkung [mm] $\lambda+1 [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ $\lambda [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ -1$ .
Gruß vom
Roadrunner
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Hi,
warum?
Ich kann doch das 0-fache einer Zeile zu einer anderen addieren - ich ändere ja dadurch nicht die Lösungsmenge.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Fr 27.07.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo schachuzipus!
Aber die Multiplikation einer (Un-)Gleichung mit dem Wert $0_$ ist doch keine Äquivalenzumformung.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner,
das stimmt natürlich, aber das war ja hier keine "isolierte" Zeilenumformung der Art Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar, der [mm] \ne [/mm] 0 sein muss, sondern Addition eines [mm] \underline{beliebigen} [/mm] Vielfachen einer Zeile zu einer anderen.
Das ist zumindest so in meinem Skript definiert.
3 Arten von "erlaubten Umformungen:
(1) Vertauschen zweier Zeilen
(2) Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar [mm] \ne [/mm] 0
(3) Addition eines beliebigen Vielfachen einer Zeile zu einer anderen
Ich würde ja schlimmstenfalls einfach 0 zu der 3. Zeile addieren und nix an der Lösuingsmenge verändern.
Oder nicht?
Hmmm...
LG
schachuzipus
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