Lösung einer Riccati DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Do 30.10.2008 | | Autor: | crashby |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Differenz zweier Lösungen [mm] u(x)=y(x)-y_1(x) [/mm] einer Bernoulli DGL genügt und lösen Sie diese mittels SUbstitution [mm]z(x)=\frac{1}{u(x)}[/mm] |
hab meine DGL umgeformt nach:
[mm]y'-2xy=y^2+2[/mm]
dann [mm]u=y-y_1\gdw u=y+\frac{1}{x} [/mm]
mit der Formel:
[mm]u'=\left(-g(x)+2\cdot y_p\cdot h(x)\right)\cdot u+h(x)\cdot u^2[/mm]
erhalte ich:
[mm]u'-\frac{2x^2-2}{x}\cdot u=u^2[/mm]
so stimmt das bis hier?
das wäre ja dann eine Bernoulli DGL mit[mm]\alpha=2[/mm] ?
greetz und danke für die Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:28 Fr 31.10.2008 | | Autor: | crashby |
moin, stimmt das bis hier oder doch auf dem holzweg ?
lg crash
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:07 Fr 31.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
alles richtig. ich versteh zwar deine Formel mit g und h nicht aber das Ergebnis ist richtig und auuch ne B. Dgl mit [mm] \alpha=2
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:46 Fr 31.10.2008 | | Autor: | crashby |
Wir haben das so bezeichnet also der Dozent nimmt diese Darstellung für Riccati DGL
[mm]y'+g(x)\cdot y+h(x)\cdot y^2=k(x)[/mm]
und nun löse ich die B-DGL mit TdV z.b ?
werde das mal machen und meinen Weg dann posten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 Fr 31.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Wir haben das so bezeichnet also der Dozent nimmt diese
> diese Darstellung:
>
> [mm]y'+g(x)\cdot y+h(x)\cdot y^2=k(x)[/mm]
>
> und nun löse ich die B-DGL mit TdV z.b ?
Meinst Du "Trennung der Veränderlichen" ?
Wie soll das hier gehen ?
FRED
>
> werde das mal machen und meinen Weg dann posten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Fr 31.10.2008 | | Autor: | crashby |
Hallo, ich benutze jetzt folgende Schreibweise,da ich mich dran gewöhnt habe nach den vielen Übungsaufgaben :)
[mm] y'+a(x)\cdot y=b(x)\cdot y^{\alpha}[/mm]
also bei mir jetzt:
[mm]u'-\frac{2x^2-2}{x}\cdot u=u^2[/mm]
mit [mm]a(x)=-\frac{2x^2-2}{x},b(x)=1,\alpha=2[/mm]
das wird auf eine lineare DGL zurück geführt und man erhält:
[mm]z'+\frac{2x^2-2}{x}=-1[/mm]
Mit Separation erhält man dann die Lösungen:
meine homogene Lösung lautet bis jetzt:
[mm]y_H=c\cdot e^{2\cdot \ln|x|-x^2}[/mm]
und nun weiß grad nicht wie ich das vereinfachen kann
DAnke und greetz
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Fr 31.10.2008 | | Autor: | crashby |
wie kann man das umformen:
$ [mm] y_H=c\cdot e^{2\cdot \ln|x|-x^2} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Fr 31.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> wie kann man das umformen:
>
> [mm]y_H=c\cdot e^{2\cdot \ln|x|-x^2}[/mm]
[mm] c\cdot e^{2\cdot \ln|x|-x^2} [/mm] = [mm] ce^{ln|x|^2 -x^2} [/mm] = [mm] ce^{ln|x|^2}e^{-x^2} [/mm] = [mm] c|x|^2e^{-x^2} [/mm] = [mm] cx^2e^{-x^2}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Fr 31.10.2008 | | Autor: | crashby |
hi fred,
okay dann war meins ja doch nicht so verkehrt.
Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Fr 31.10.2008 | | Autor: | crashby |
okay nun mussm an ja die partikuläre Lösung bestimmen:
[mm]z_P=z_H\cdot \int \frac{b(x)}{z_H} dx[/mm]
dann hab ich:
[mm]z_P=x^2\cdot e^{-x^2}\cdot \int -\frac{1}{x^2\cdot e^{-x^2} [/mm]
nun gut das integral kann ich aber nicht so elementar lösen,wenn ich mich nicht irre...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:42 Sa 01.11.2008 | | Autor: | crashby |
ist das ding lösbar odr hab ich was falsch gemacht ?
greetz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Sa 01.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
es gibt die vertafelte erfi() Funktion, bis auf Normierung das integral von [mm] e^{x^2}
[/mm]
damit kann mans loesen.
Ich geb sowas immer in http://integrals.wolfram.com/ ein, sieh mir die Loesung an, und ueberleg dann wie man dahin kommt!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Sa 01.11.2008 | | Autor: | crashby |
Hey,
danke ich glaube da ist ein Fehler in der Aufgabe
Bei Aufgabe d) steht:
Bestimmen Sie alle Lösungen von der Riccati-DGL
oder muss es keine spezielle Lösung geben ? Ich hab ja die homogene und die eine Lösung als Hinweis gegeben.
lg crashby
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