Lösung einer Gleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Sa 11.05.2013 | | Autor: | poeddl |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle komplexe Zahlen z, welche [mm] z^{3}=-8i [/mm] erfüllen.
Geben Sie die Lösung in Polarkoordinaten an. |
Hallo,
ich habe bei der obigen Aufgabe Probleme und weiß nicht, was an meiner Rechnung falsch ist.
Hier mein Ansatz:
Polarform: [mm] z=8(cos(\bruch{-\pi}{2})+ [/mm] i* sin [mm] (\bruch{-\pi}{2}))
[/mm]
(Der Winkel ist ja so definiert, da x=0 und y < 0 für z=x+iy aus der Aufgabenstellung).
Da fängt es schon mal an, in der Lösung steht als Polarform folgendes:
[mm] z=8(cos(\bruch{3\pi}{2})+ [/mm] i* sin [mm] (\bruch{3\pi}{2}))
[/mm]
Das wird aber vermutlich nur daran liegen, dass einfach [mm] 2\pi [/mm] draufaddiert wurden, also sollte meine Form auch richtig sein oder?
Weiter geht es dann mit der Bestimmung der Lösungen, was ich mit folgendem Ansatz gemacht habe:
[mm] z_{0}=r^{\bruch{1}{n}}(cos ({\bruch{\gamma}{n}})+ [/mm] i* sin [mm] ({\bruch{\gamma}{n}}))
[/mm]
[mm] z_{1}=r^{\bruch{1}{n}}(cos ({\bruch{\gamma +1 *2\pi}{n}})+ [/mm] i* sin [mm] ({\bruch{\gamma +1 *2\pi}{n}}))
[/mm]
usw.
Meine Lösungen lauten dann folgendermassen:
[mm] z_{0}= [/mm] 2(cos [mm] (\bruch{-\pi}{6}+ [/mm] i*sin [mm] (\bruch{-\pi}{6}))
[/mm]
[mm] z_{1}= [/mm] 2(cos [mm] (\bruch{3\pi}{6}+ [/mm] i*sin [mm] (\bruch{3\pi}{6}))
[/mm]
[mm] z_{2}= [/mm] 2(cos [mm] (\bruch{7\pi}{6}+ [/mm] i*sin [mm] (\bruch{7\pi}{6}))
[/mm]
In der Lösung sind die Winkel aber die folgenden:
[mm] \bruch{\pi}{2}, \bruch{7\pi}{6}, \bruch{11\pi}{6}
[/mm]
Es beginnt also mit meinem [mm] z_{1} [/mm] und endet mit meinem (theoretischen) [mm] z_{3}... [/mm] (hoffe, das ist verständlich, was ich meine?)
Wer kann mir sagen, wo ich mich verrechnet habe, bzw. was ich falsch mache?
Vielen Dank vorab!
poeddl
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Hallo poeddl,
> Bestimmen Sie alle komplexe Zahlen z, welche [mm]z^{3}=-8i[/mm]
> erfüllen.
> Geben Sie die Lösung in Polarkoordinaten an.
> Hallo,
>
> ich habe bei der obigen Aufgabe Probleme und weiß nicht,
> was an meiner Rechnung falsch ist.
>
> Hier mein Ansatz:
>
> Polarform: [mm]z=8(cos(\bruch{-\pi}{2})+[/mm] i* sin
> [mm](\bruch{-\pi}{2}))[/mm]
> (Der Winkel ist ja so definiert, da x=0 und y < 0 für
> z=x+iy aus der Aufgabenstellung).
>
> Da fängt es schon mal an, in der Lösung steht als
> Polarform folgendes:
> [mm]z=8(cos(\bruch{3\pi}{2})+[/mm] i* sin [mm](\bruch{3\pi}{2}))[/mm]
> Das wird aber vermutlich nur daran liegen, dass einfach
> [mm]2\pi[/mm] draufaddiert wurden, also sollte meine Form auch
> richtig sein oder?
>
> Weiter geht es dann mit der Bestimmung der Lösungen, was
> ich mit folgendem Ansatz gemacht habe:
>
> [mm]z_{0}=r^{\bruch{1}{n}}(cos ({\bruch{\gamma}{n}})+[/mm] i* sin
> [mm]({\bruch{\gamma}{n}}))[/mm]
>
> [mm]z_{1}=r^{\bruch{1}{n}}(cos ({\bruch{\gamma +1 *2\pi}{n}})+[/mm]
> i* sin [mm]({\bruch{\gamma +1 *2\pi}{n}}))[/mm]
>
> usw.
>
> Meine Lösungen lauten dann folgendermassen:
>
> [mm]z_{0}=[/mm] 2(cos [mm](\bruch{-\pi}{6}+[/mm] i*sin [mm](\bruch{-\pi}{6}))[/mm]
> [mm]z_{1}=[/mm] 2(cos [mm](\bruch{3\pi}{6}+[/mm] i*sin [mm](\bruch{3\pi}{6}))[/mm]
> [mm]z_{2}=[/mm] 2(cos [mm](\bruch{7\pi}{6}+[/mm] i*sin [mm](\bruch{7\pi}{6}))[/mm]
>
> In der Lösung sind die Winkel aber die folgenden:
> [mm]\bruch{\pi}{2}, \bruch{7\pi}{6}, \bruch{11\pi}{6}[/mm]
> Es
> beginnt also mit meinem [mm]z_{1}[/mm] und endet mit meinem
> (theoretischen) [mm]z_{3}...[/mm] (hoffe, das ist verständlich, was
> ich meine?)
>
> Wer kann mir sagen, wo ich mich verrechnet habe, bzw. was
> ich falsch mache?
>
Die Polarform wurde so angegeben:
[mm]8(cos(\bruch{\blue{3}\pi}{2})+ i* sin\left(\bruch{\blue{3}\pi}{2}\right)[/mm]
Kurzum, es wurde ein positver Winkel verwendet.
Diese Form ist auch richtig, da die trigonometrischen Funktionen
periodisch mir der Periode [mm]2\pi[/mm] sind.
> Vielen Dank vorab!
>
> poeddl
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Sa 11.05.2013 | | Autor: | poeddl |
Ok, also meine Polarform ist demnach richtig?
Aber das mit den Winkeln verstehe ich nicht, also den Lösungen der Gleichung...
Woran liegt das? Bzw. ist meine Lösung dann auch richtig?
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Hallo poeddl,
> Ok, also meine Polarform ist demnach richtig?
Ja.
> Aber das mit den Winkeln verstehe ich nicht, also den
> Lösungen der Gleichung...
> Woran liegt das? Bzw. ist meine Lösung dann auch richtig?
Das liegt an der Peiodizität von Sinus und Cosinus.
Der positive Winkel zu [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm] ist
[mm]-\bruch{\pi}{2}+2\pi=\bruch{3\pi}{2}[/mm]
Genauso gut hättest Du die Polarform mit
[mm]-\bruch{\pi}{2}+2*2\pi=\bruch{7\pi}{2}[/mm]
angegeben können.
Deine Lösung ist auch richtig.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:51 Sa 11.05.2013 | | Autor: | poeddl |
Vielen Dank für deine Antwort!
Habs mir mal aufgezeichnet im Einheitskreis, ergibt sogar Sinn :D
Hätte ich auch von selbst drauf kommen können...
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