Lösung einer Gew. DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Fr 01.05.2009 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösung der gew. DGL [mm] $\frac{d^2y}{dx^2}=f(x)$, [/mm] $x>0$, $y(0)=0$, [mm] $\frac{dy}{dy}(0)=0$ [/mm] in der Darstellungsform
[mm] $y(x)=\int_0^x(x-t)f(t)dt$ [/mm] |
Hallo zusammen,
muss diese Aufgabe lösen und habe leider absolut keine Ahnung von Differentialgleichungen. Ich weiß zwar ungefähr, was ich darunter zu verstehen habe, wie Lösungen in etwa aussehen, das wars aber auch schon. Könnte mir jemand eventuell einen Tipp geben, um welche Art / Spezialfall einer gew. DGL es sich hierbei handelt? Einen Lösungsvorschlag möchte ich mir gar nicht erhoffen, aber ein Hinweis darüber, in welcher Richtung ich in den Lehrbüchern mal nachschlagen muss, wäre toll!
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
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Hallo grenife,
> Bestimmen Sie die Lösung der gew. DGL
> [mm]\frac{d^2y}{dx^2}=f(x)[/mm], [mm]x>0[/mm], [mm]y(0)=0[/mm], [mm]\frac{dy}{dy}(0)=0[/mm] in
> der Darstellungsform
> [mm]y(x)=\int_0^x(x-t)f(t)dt[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> muss diese Aufgabe lösen und habe leider absolut keine
> Ahnung von Differentialgleichungen. Ich weiß zwar ungefähr,
> was ich darunter zu verstehen habe, wie Lösungen in etwa
> aussehen, das wars aber auch schon. Könnte mir jemand
> eventuell einen Tipp geben, um welche Art / Spezialfall
> einer gew. DGL es sich hierbei handelt? Einen
> Lösungsvorschlag möchte ich mir gar nicht erhoffen, aber
> ein Hinweis darüber, in welcher Richtung ich in den
> Lehrbüchern mal nachschlagen muss, wäre toll!
Nun diese DGL ist in der Tat ein Spezialfall.
Dies Lösung wird hier durch 2-malige Integration bestimmt.
>
> Vielen Dank und viele Grüße
> Gregor
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Sa 02.05.2009 | | Autor: | grenife |
Hallo,
vielen Dank für den Hinweis! Wie sollte ich denn generell an die Lösung herangehen? Das, was ich aus der Aufgabe lese ist, dass es ein Anfangswertproblem zweiter Ordnung ist, aber mehr weiß ich leider auch nicht. Ist einfach etwas blöde, dass ich ohne VL über DGL diese Aufgabe lösen muss, denn außer dem Satz von Picard-Lindelöf ist mir in diesem Bereich nicht viel bekannt.
viele Grüße
Gregor
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Hallo grenife,
> Hallo,
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> vielen Dank für den Hinweis! Wie sollte ich denn generell
> an die Lösung herangehen? Das, was ich aus der Aufgabe lese
> ist, dass es ein Anfangswertproblem zweiter Ordnung ist,
> aber mehr weiß ich leider auch nicht. Ist einfach etwas
> blöde, dass ich ohne VL über DGL diese Aufgabe lösen muss,
> denn außer dem Satz von Picard-Lindelöf ist mir in diesem
> Bereich nicht viel bekannt.
Hier kannst Du diesen Satz zweimal anwenden.
[mm]\left(y'\right)'=f\left(x\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow y'\left(x\right) = y'(0)+\integral_{0}^{x}{f\left(s\right) \ ds}[/mm]
Und jetzt wendest Du den Satz nochmal an.
>
> viele Grüße
> Gregor
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Mi 06.05.2009 | | Autor: | grenife |
Hallo Mathepower,
> Hallo grenife,
>
> > Hallo,
> >
> > vielen Dank für den Hinweis! Wie sollte ich denn generell
> > an die Lösung herangehen? Das, was ich aus der Aufgabe lese
> > ist, dass es ein Anfangswertproblem zweiter Ordnung ist,
> > aber mehr weiß ich leider auch nicht. Ist einfach etwas
> > blöde, dass ich ohne VL über DGL diese Aufgabe lösen muss,
> > denn außer dem Satz von Picard-Lindelöf ist mir in diesem
> > Bereich nicht viel bekannt.
>
>
> Hier kannst Du diesen Satz zweimal anwenden.
>
> [mm]\left(y'\right)'=f\left(x\right)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y'\left(x\right) = y'(0)+\integral_{0}^{x}{f\left(s\right) \ ds}[/mm]
>
das sieht mir doch nach einer einfachen Folgerung aus der Definition der Stammfunktion aus. $y'$ ist Stammfunktion zu $y''$ und rechts steht anstelle von $y''$ nun $f$. Ich muss gestehen, dass ich den Satz von Picard-Lindelöf jetzt hier nicht wirklich erkenne, oder habe ich Dich falsch verstanden?
Wenn ich jetzt den Satz nochmal anwende, erhalte ich doch
[mm] $y=\int_0^x\left[\int_0^tf(s)ds\right]dt$
[/mm]
oder?
Viele Grüße
Gregor
> Und jetzt wendest Du den Satz nochmal an.
>
>
> >
> > viele Grüße
> > Gregor
>
>
> Gruß
> MathePower
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Hallo grenife,
> Hallo Mathepower,
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> > Hallo grenife,
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > vielen Dank für den Hinweis! Wie sollte ich denn generell
> > > an die Lösung herangehen? Das, was ich aus der Aufgabe lese
> > > ist, dass es ein Anfangswertproblem zweiter Ordnung ist,
> > > aber mehr weiß ich leider auch nicht. Ist einfach etwas
> > > blöde, dass ich ohne VL über DGL diese Aufgabe lösen muss,
> > > denn außer dem Satz von Picard-Lindelöf ist mir in diesem
> > > Bereich nicht viel bekannt.
> >
> >
> > Hier kannst Du diesen Satz zweimal anwenden.
> >
> > [mm]\left(y'\right)'=f\left(x\right)[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow y'\left(x\right) = y'(0)+\integral_{0}^{x}{f\left(s\right) \ ds}[/mm]
>
> >
>
> das sieht mir doch nach einer einfachen Folgerung aus der
> Definition der Stammfunktion aus. [mm]y'[/mm] ist Stammfunktion zu
> [mm]y''[/mm] und rechts steht anstelle von [mm]y''[/mm] nun [mm]f[/mm]. Ich muss
> gestehen, dass ich den Satz von Picard-Lindelöf jetzt hier
> nicht wirklich erkenne, oder habe ich Dich falsch
> verstanden?
Das ist hier ein Spezialfall des Satzes, hier ist [mm]f\left(x,y \right)=f\left(x\right)[/mm]
>
> Wenn ich jetzt den Satz nochmal anwende, erhalte ich doch
>
> [mm]y=\int_0^x\left[\int_0^tf(s)ds\right]dt[/mm]
>
> oder?
Ja.
>
> Viele Grüße
> Gregor
>
> > Und jetzt wendest Du den Satz nochmal an.
> >
> >
> > >
> > > viele Grüße
> > > Gregor
> >
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Fr 15.05.2009 | | Autor: | grenife |
Hallo nochmal,
mir ist irgendwie noch nicht ganz klar, wie ich von
[mm] $y=\int_0^x\left[\int_0^tf(s)ds\right]dt$
[/mm]
auf die Darstellung
$ [mm] y(x)=\int_0^x(x-t)f(t)dt [/mm] $
komme. Dies ist doch dann erfüllt, wenn [mm] $\left[\int_0^tf(s)ds\right]=(x-t)f(t)$ [/mm] ist. Die Stammfunktion von $f$ ist $y'$ und ich erhalte links
[mm] $[y'(s)]^x_0=y'(x)-y'(0)=y'(x)$. [/mm] Aber wieso ist denn dann $y'(x)=(x-t)f(t)$?
Vielen Dank für Eure Tipps und viele Grüße
Gregor
> Hallo grenife,
>
> > Hallo Mathepower,
> >
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> > > Hallo grenife,
> > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > vielen Dank für den Hinweis! Wie sollte ich denn generell
> > > > an die Lösung herangehen? Das, was ich aus der Aufgabe lese
> > > > ist, dass es ein Anfangswertproblem zweiter Ordnung ist,
> > > > aber mehr weiß ich leider auch nicht. Ist einfach etwas
> > > > blöde, dass ich ohne VL über DGL diese Aufgabe lösen muss,
> > > > denn außer dem Satz von Picard-Lindelöf ist mir in diesem
> > > > Bereich nicht viel bekannt.
> > >
> > >
> > > Hier kannst Du diesen Satz zweimal anwenden.
> > >
> > > [mm]\left(y'\right)'=f\left(x\right)[/mm]
> > >
> > > [mm]\Rightarrow y'\left(x\right) = y'(0)+\integral_{0}^{x}{f\left(s\right) \ ds}[/mm]
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> > >
> >
> > das sieht mir doch nach einer einfachen Folgerung aus der
> > Definition der Stammfunktion aus. [mm]y'[/mm] ist Stammfunktion zu
> > [mm]y''[/mm] und rechts steht anstelle von [mm]y''[/mm] nun [mm]f[/mm]. Ich muss
> > gestehen, dass ich den Satz von Picard-Lindelöf jetzt hier
> > nicht wirklich erkenne, oder habe ich Dich falsch
> > verstanden?
>
>
> Das ist hier ein Spezialfall des Satzes, hier ist
> [mm]f\left(x,y \right)=f\left(x\right)[/mm]
>
>
> >
> > Wenn ich jetzt den Satz nochmal anwende, erhalte ich doch
> >
> > [mm]y=\int_0^x\left[\int_0^tf(s)ds\right]dt[/mm]
> >
> > oder?
>
>
> Ja.
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> >
> > Viele Grüße
> > Gregor
> >
> > > Und jetzt wendest Du den Satz nochmal an.
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> > > >
> > > > viele Grüße
> > > > Gregor
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> > > Gruß
> > > MathePower
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>
>
> Gruß
> MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 Fr 15.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Setze
$ [mm] g(x)=\int_0^x(x-t)f(t)dt [/mm] $
Dann ist
$g(0) = 0$, $ g'(x) = [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt}$ [/mm] und $g'(0) = 0$
Weiter folgt
$g''(x) = f(x)$
Also ist g eine Lösung des Anfangswertproblems.
$ [mm] y(x)=\int_0^x\left[\int_0^tf(s)ds\right]dt [/mm] $ löst das Anfangswertproblem ebenfalls.
Da die Lösung eindeutig bestimmt ist, folgt $g = y$
FRED
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