Lösung der komplexen Zahl < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung [mm] (-4+4\wurzel{3}\*j)z^2=64 [/mm] in der Form z=a+bj |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.könntet ihr mir da uzr lösung helfen, steh da irgendwie wirklich auf dem schlauch
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Hallo haxenpeter und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung
> [mm](-4+4√3xj)z^2=64[/mm] in der Form z=a+bj
Hmm, da ist was mit der Darstellung im Argen, eine Wurzel kannst du so eintippen \wurzel{3} oder englisch \sqrt{3}
Dem Quellcode entnehme ich, dass die Gleichug [mm] $(-4+4\sqrt{3}\cdot{}i)\cdot{}z^2=64$ [/mm] gemeint ist.
Nun, isoliere erst einmal [mm] $z^2$
[/mm]
Das gibt [mm] $z^2=\frac{64}{-4+4\sqrt{3}i}=\frac{16}{-1+\sqrt{3}i}$
[/mm]
Nun erweitere erstmal mit dem komplex Konjugierten des Nenners, um rechterhand eine Darstellung $w=x+iy$ zu bekommen.
Dann kannst du mit der p/q-Formel losschlagen ...
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.könntet ihr mir da die lösung mit
> lösungsweg geben, sthe da irgendwie wirklich auf dem
> schlauch
Einen Ansatz ja, aber rechnen musst du schon selber, schließlich ist das deine Aufgabe ![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]")
LG
schachuzipus
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also ich bin echt eine mathe nulpe. wie erweitere ich mit dem komplex Konjugierten des Nenners?
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ja aber dann bekomm ich doch [mm] 16(-1-\wurzel{3})/1-3i [/mm] herraus. und dann?
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Hallo nochmal,
> ja aber dann bekomm ich doch [mm]16(-1-\wurzel{3})/\red{(}1-3i\red{)}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> herraus. und dann?
Nein, der Nenner stimmt doch nicht.
Und setze Klammern, wenn du den Formeleditor nicht benutzt, immerhin gilt Punkt- vor Strichrechnung in Mitteleuropa
Es ist für [mm] $z\in\IC [/mm] \ : \ [mm] z\cdot{}\overline{z}=|z|^2$
[/mm]
Rechne es doch zu Fuß aus, wenn es dir nicht geläufig ist:
[mm] $(-1+\sqrt{3}i)\cdot{}\overline{(-1+\sqrt{3}i)}=(-1+\sqrt{3}i)\cdot{}(-1\blue{-}\sqrt{3}i)=...$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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also irgentwie denk ich gerade ob ich ganz blöd bin..mmh
[print]
Quelltext $ [mm] (-1+\sqrt{3}i)\cdot{}\overline{(-1+\sqrt{3}i)}=(-1+\sqrt{3}i)\cdot{}(-1\blue{-}\sqrt{3}i)=... [/mm] $
ist dach 1-3i oder?
weil -1*-1 ist 1 und [mm] -1*-\wurzel{3} [/mm] ist [mm] +\wurzel{3} [/mm] und [mm] -1*+\wurzel{3} [/mm] ist [mm] -\wurzel{3} [/mm] und [mm] +\wurzel{3}*-\wurzel{3} [/mm] ist -3 oder?
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> also irgentwie denk ich gerade ob ich ganz blöd bin..mmh
> [print]
> Quelltext [mm] (-1+\sqrt{3}i)\cdot{}\overline{(-1+\sqrt{3}i)}=(-1+\sqrt{3}i)\cdot{}(-1\blue{-}\sqrt{3}i)=...[/mm]
>
> ist dach 1-3i oder?
> weil -1*-1 ist 1 und [mm]-1*-\wurzel{3}[/mm] ist [mm]+\wurzel{3}[/mm] und
> [mm]-1*+\wurzel{3}[/mm] ist [mm]-\wurzel{3}[/mm] und [mm]+\wurzel{3}*-\wurzel{3}[/mm]
> ist -3 oder?
[mm] (a+b)*(a-b)=a^2-b^2
[/mm]
mit a=-1 und [mm] b=\sqrt{3}*i
[/mm]
ergibt [mm] (-1)^2-(\sqrt{3}i)^2=1-(3*(-1))=1+3=4
[/mm]
mit
[mm] z*\overline{z}=|z|^2 [/mm] kommst du aufs selbe
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:43 Sa 23.01.2010 | | Autor: | haxenpeter |
oh ich hab das [mm] i^2 [/mm] garnich miteinbezogen...manman man bin ich einschussel
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zrück zur aufgabe. also würde ich [mm] rechnen.\vektor{16 \\ -1+\wurzel{3i}}*\vektor{-1-\wurzel{3i} \\ -1-\wurzel{3i}} [/mm] daraus ergibt sich dann [mm] \vektor{16*(-1-\wurzel{3i} \\ 4}
[/mm]
dann kürzt sich das weg und ich hab nurnoch [mm] 4*(-1-\wurzel{3i}).
[/mm]
wie muss ich dann weiterrechnen um die aufgabe zu lösen?
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Hallo nochmal,
> zrück zur aufgabe. also würde ich [mm]rechnen.\vektor{16 \\ -1+\wurzel{3i}}*\vektor{-1-\wurzel{3i} \\ -1-\wurzel{3i}}[/mm]
Achtung, das i gehört nicht mit unter die Wurzel!
Ui, Brüche kannst du so eingeben \bruch{16(-1+\wurzel{3}i}{4}, das gibt das leserliche [mm] $\bruch{16\cdot{}(-1+\wurzel{3}i)}{4}$
[/mm]
> daraus ergibt sich dann [mm]\vektor{16*(-1-\wurzel{3i} \\ 4}[/mm]
>
> dann kürzt sich das weg und ich hab nurnoch
> [mm]4*(-1-\wurzel{3i}).[/mm]
Nicht ganz, aber du meinst es, denke ich, richtig:
[mm] $4(-1-\sqrt{3}i)$ [/mm] ergibt sich
>
> wie muss ich dann weiterrechnen um die aufgabe zu lösen?
Na, du hast doch nun die Gleichungäquivalent umgeformt zu
[mm] $z^2=4\cdot{}(-1-\sqrt{3}i)$
[/mm]
Nun bietet sich das Ziehen der Wurzel an ...
Vllt. schreibst du [mm] $w:=-1-\sqrt{3}i$ [/mm] dazu in die Darstellung [mm] $r\cdot{}e^{i\cdot{}\varphi}$ [/mm] um mit $r=|w|, [mm] \varphi=arg(w)$ [/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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also mich iritiert das ^2 bei z und die 4 vor der klammer.
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Hallo nochmal,
> also mich iritiert das ^2 bei z und die 4 vor der klammer.
Nun, ziehe die Wurzel auf beiden Seiten.
Das gibt [mm] $z=\pm\sqrt{4}\cdot{}\sqrt{-1-\sqrt{3}i}=\pm 2\cdot{}\sqrt{-1-\sqrt{3}i}$
[/mm]
Nun die o.e. Umschreibung ...
Gruß
schachuzipus
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also ich hat das gerade so berechnet:
[mm] z^2=-4(-1-\wurzel{3}i)
[/mm]
[mm] z^2=-4-(4\wurzel{3}i
[/mm]
[mm] r=\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
[mm] r=\wurzel{16+(4*\wurzel{3})^2}
[/mm]
[mm] r=\wurzel{16+48}
[/mm]
[mm] r=\wurzel{64}
[/mm]
r=8
arctan(y/x)=arctan [mm] -4*\wurzel{3}/-4= [/mm] arctan [mm] \wurzel{3}= [/mm] 60 grad
ergebnis: [mm] \wurzel{8}*e^i60
[/mm]
so hab ich es mir vorher gedacht. aber is falsch oder?wir rechnen ohne taschenrechner
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Hallo haxenpeter,
> also ich hat das gerade so berechnet:
>
> [mm]z^2=-4(-1-\wurzel{3}i)[/mm]
> [mm]z^2=-4-4\wurzel{3}i[/mm]
> [mm]r=\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
> [mm]r=\wurzel{16+(4*\wurzel{3})^2}[/mm]
> [mm]r=\wurzel{16+48}[/mm]
> [mm]r=\wurzel{64}[/mm]
> r=8 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> arctan(y/x)=arctan [mm]-4*\wurzel{3}/-4=[/mm] arctan [mm]\wurzel{3}=[/mm] 60 grad
Das ist nicht ganz richtig, die $arctan$-Formel gilt so nicht uneingeschränkt.
Hier liegt die gesuchte Zahl doch im 3.Quadranten, du musst zu [mm] $60^{\circ}$ [/mm] noch [mm] $180^{\circ}$ [/mm] dazuaddieren.
Du hast quasi den Winkel von [mm] $1+\sqrt{3}i$ [/mm] berechnet ...
>
> ergebnis: [mm]\wurzel{8}*e^i60[/mm]
Ja, fast. Du hast hier vom Betrag schon die Wurzel genommen und der Winkel passt nicht ganz
Es ist dann [mm] $w=-1-\sqrt{3}i=8\cdot{}e^{240^{\circ}\cdot{}i}$
[/mm]
Nun davon die Wurzel ziehen ...
>
> so hab ich es mir vorher gedacht. aber is falsch oder?wir
> rechnen ohne taschenrechner
Das war schon ganz gut, du musst nur auch die Lage des Punktes w im Koordinantensystem bedenken und die entsprechende Verschiebnung
Gruß
schachuzipus
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also ist die lösung meiner aufgabe:
$ [mm] 2.828\cdot{}e^{240^{\circ}\cdot{}i} [/mm] $
oder schreibt man die lösung anders?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Mo 25.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo haxenpeter!
Das Ergebnis im einzelnen habe ich nunmehr nicht überprüft.
Aber zur Darstellung: den Winkel gibt man i.d.R. im Bogenmaß an. Und für den Betrag besser [mm] $2*\wurzel{2}$ [/mm] anstelle des gerundeten Wertes $2{,}828_$ schreiben.
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | Berechnen sie die komplexe zahl z und geben sie die in normalform wieder
[mm] z=\bruch{1+j}{\wurzel{2}{(cos(\bruch{Pi}{4})-j*sin(\bruch{Pi}{4})}} [/mm] |
ist die lösung : z= 1+1j richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Mi 27.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Berechnen sie die komplexe zahl z und geben sie die in
> normalform wieder
>
> [mm]z=\bruch{1+j}{\wurzel{2}{(cos(\bruch{Pi}{4})-j*sin(\bruch{Pi}{4})}}[/mm]
> ist die lösung : z= 1+1j richtig?
Hallo,
da deine vemutete Lösung mit dem Zähler des gegebenen Bruchs übereinstimmt, müsste der Nenner
[mm] \wurzel{2}(cos(\bruch{Pi}{4})-j*sin(\bruch{Pi}{4})
[/mm]
den Wert 1 annehmen (was er nicht tut).
Erweitere den gegebenen Bruch lieber mit [mm] \wurzel{2}{(cos(\bruch{Pi}{4})+j*sin(\bruch{Pi}{4})}
[/mm]
Gruß Abakus
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könnte es sein das die antwort: [mm] z=\wurzel{8}+0i [/mm] ?
mein lösungsweg sieht wie folgt aus:
[mm] \bruch{1+i}{\wurzel{2}(0.5*\wurzel{2}-0.5*\wurzel{2})}
[/mm]
dann hab ich im nenner:
[mm] ((0.5*\wurzel{2})*2-(0.5*\wurzel{2})*2)
[/mm]
= [mm] \bruch{1+i}{\wurzel{2}-\wurzel{2}*i}
[/mm]
[mm] =\bruch{1+1i}{\wurzel{2}-\wurzel{2}*i}*\bruch{\wurzel{2}+\wurzel{2}*i}{\wurzel{2}+\wurzel{2}*i}
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{2}+\wurzel{2}}{\wurzel{2}^2-\wurzel{2}^2}+\bruch{\wurzel{2}-\wurzel{2}}{\wurzel{2}^2-\wurzel{2}^2}*i
[/mm]
[mm] =\wurzel{8}+0*i
[/mm]
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Hallo haxenpeter,
> könnte es sein das die antwort: [mm]z=\wurzel{8}+0i[/mm] ?
>
> mein lösungsweg sieht wie folgt aus:
> [mm]\bruch{1+i}{\wurzel{2}(0.5*\wurzel{2}-0.5*\wurzel{2})}[/mm]
Das muss doch so lauten:
[mm]\bruch{1+i}{\wurzel{2}(0.5*\wurzel{2}-\red{i}*0.5*\wurzel{2})}[/mm]
>
> dann hab ich im nenner:
> [mm]((0.5*\wurzel{2})*2-(0.5*\wurzel{2})*2)[/mm]
Da hast Du die Wurzel über der 2 außerhalb der inneren Klammern vergessen:
[mm]((0.5*\wurzel{2})*\red{\wurzel{2}}-\red{i}*(0.5*\wurzel{2})*\red{\wurzel{2}})[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1+i}{\wurzel{2}-\wurzel{2}*i}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1+1i}{\wurzel{2}-\wurzel{2}*i}*\bruch{\wurzel{2}+\wurzel{2}*i}{\wurzel{2}+\wurzel{2}*i}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\wurzel{2}+\wurzel{2}}{\wurzel{2}^2-\wurzel{2}^2}+\bruch{\wurzel{2}-\wurzel{2}}{\wurzel{2}^2-\wurzel{2}^2}*i[/mm]
> [mm]=\wurzel{8}+0*i[/mm]
Gruss
MathePower
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ja da hast du recht:
$ [mm] \bruch{1+i}{\wurzel{2}(0.5\cdot{}\wurzel{2}-\red{i}\cdot{}0.5\cdot{}\wurzel{2})} [/mm] $
aber aus:
$ [mm] ((0.5\cdot{}\wurzel{2})\cdot{}\red{\wurzel{2}}-\red{i}\cdot{}(0.5\cdot{}\wurzel{2})\cdot{}\red{\wurzel{2}}) [/mm] $
wird doch dann:
$ [mm] ((0.5\cdot{}\wurzel{2})\cdot{}2-(0.5\cdot{}\wurzel{2})\cdot{}2) [/mm] $
den aus [mm] \wurzel{2}*\wurzel{2} [/mm] wird 2 und aus 0.5 mal [mm] \wurzel{2} [/mm] wird wieder [mm] 0.5*\wurzel{2}
[/mm]
also ist meine rechnung richtig?
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Hallo, du hattest
[mm] \bruch{1+i}{\wurzel{2}(cos\bruch{\pi}{4}-i*sin\bruch{\pi}{4})}
[/mm]
entsprechend erweitern
[mm] \bruch{(1+i)*\wurzel{2}(cos\bruch{\pi}{4}+i*sin\bruch{\pi}{4})}{\wurzel{2}(cos\bruch{\pi}{4}-i*sin\bruch{\pi}{4})\wurzel{2}(cos\bruch{\pi}{4}+i*sin\bruch{\pi}{4})}
[/mm]
[mm] \bruch{(1+i)*\wurzel{2}(cos\bruch{\pi}{4}+i*sin\bruch{\pi}{4})}{2(cos\bruch{\pi}{4}-i*sin\bruch{\pi}{4})(cos\bruch{\pi}{4}+i*sin\bruch{\pi}{4})}
[/mm]
[mm] \bruch{(1+i)*(1+i)}{2(0,5-0,5*i^{2})}
[/mm]
[mm] \bruch{(1+i)*(1+i)}{2(0,5+0,5)}
[/mm]
[mm] \bruch{1+2i-1}{2}
[/mm]
i
Steffi
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wie rechnest du denn den nenner aus? irgentwie bekomm ich da immer etwas anderes raus. [mm] cos\bruch{\pi}{4} [/mm] und [mm] sin\bruch{\pi}{4} [/mm] sind doch [mm] 0.5\wurzel{2}..also [/mm] ich komm da nich auf den selben nenner
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Do 28.01.2010 | | Autor: | Herby |
Hi,
> wie rechnest du denn den nenner aus? irgentwie bekomm ich
> da immer etwas anderes raus. [mm]cos\bruch{\pi}{4}[/mm] und
> [mm]sin\bruch{\pi}{4}[/mm] sind doch [mm] 0.5\wurzel{2} [/mm] .. also ich komm da
> nich auf den selben nenner
-- und [mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{2}=\bruch{1}{\wurzel{2}*\wurzel{2}}*\wurzel{2}=\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Also ist [mm] \cos^2(\alpha)=\bruch{1}{\wurzel{2}}*\bruch{1}{\wurzel{2}}=\bruch{1}{2}\quad \sfmath{f"ur}\quad \alpha=\bruch{\pi}{4}
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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da meine aufgabenstellung ja ist: alle lösungen in form z=a+bj. wäre das nicht schon meine lösung?
[mm] Z=\pm2*\wurzel{-1-\wurzel{3}i} [/mm] ???
sprich [mm] Z1=2*\wurzel{-1-\wurzel{3}i}=\wurzel{-2-2*\wurzel{3}i}
[/mm]
und
[mm] Z2=2*\wurzel{-1-\wurzel{3}i}=\wurzel{2+2*\wurzel{3}i}
[/mm]
???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Haxenpeter!
Nein, diese Darstellung entspricht nicht der geforderten Koordinatenform.
Denn bei Deiner Version kannst Du nicht direkt Real- und Imaginärteil ablesen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Mo 08.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wurzeln aus komplexen Zahlen zieht man am einfachsen , wenn man sie in der Form [mm] z^2=r*e^{i\phi+n2\pi} [/mm] darstellt.
Wenn man komplexe Zahlen multipliziert, addieren sich die Winkel, die Beträge multiplizieren sich. Wenn man sie also quadriert, verdoppeln sich die Winkel, die Beträge werden quadriert.
Also zieht man Wurzeln, indem man die Wurzel der Beträge nimmt Und die Winkel halbiert.
Du hattest doch schon [mm] z^2=8*e^{i*4\pi/3}=8*e^{i*4\pi/3+n*2\pi}
[/mm]
jetzt aus beiden Seiten die Wurzel mit n=0 und n=1 dann hast du die 2 Wurzeln, am Ende wieder in a+ib umschreiben.
Gruss leduart
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also ich weiß nicht genau wie du das meinst. ich kann das ja auch mit dem radizieren machen dann hät ich ja für :
[mm] z_{0}= [/mm] 2*[cos*80°+j*sin*80°]=0,347+1,532*j
das selbe spiel dann noch für z1 und z2
aber ich darf nicht mit taschenrechner arbeiten und und den cos von 80° weiß ich nun nicht aus dem kopf. wisst ihr vielleicht wo ich eine tabelle mit winkelfunktionen in 10er schritten herbekomme, da ich keine im netz gefunden habe. gruß
aber so wäre die darstellung dann richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Mo 08.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Mach es doch so:
[mm] $2\cdot{}\wurzel{-1-\wurzel{3}i}= [/mm] a+ib $
Dann: [mm] $4(-1-\wurzel{3}i) [/mm] = [mm] a^2-b^2+i2ab$
[/mm]
Trenne nun nach real - und Imaginärteil
FRED
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also mit dem lösungsvorschlag kann ich garnichts anfangen, dann bekomm ich ja wieder nur eine lösung. war denn mein lösungsansatz von eben richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo haxenpeter!
> also mit dem lösungsvorschlag kann ich garnichts anfangen,
> dann bekomm ich ja wieder nur eine lösung.
Das stimmt nicht. Mit diesem Ansatz ergeben sich selbstverständlich auch zwei unterschiedliche Lösungen! Rechne mal nach ...
> war denn mein lösungsansatz von eben richtig?
Der Weg ist auch möglich.
Gruß
Loddar
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dann werde ich wohl meinen weg wählen, dieser erscheint mir irgentwie einfacher. wenn jetzt noch jemand wüsste wo ich eine tabelle von speziellen funktionen der winkelfunktionen herbekomme. wo die winkel schritte ziehmlich klein sind, dann wäre ich echt glücklich.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Mo 08.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> dann werde ich wohl meinen weg wählen, dieser erscheint
> mir irgentwie einfacher.
Probier wenigstens mal den anderen !!!
FRED
> wenn jetzt noch jemand wüsste wo
> ich eine tabelle von speziellen funktionen der
> winkelfunktionen herbekomme. wo die winkel schritte
> ziehmlich klein sind, dann wäre ich echt glücklich.
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ja mit dem komm ich ja nicht klar. keine ahnung wie ich i*2ab berechne.
sonst hät ich ja
z1= -16-48+(i*2+ab)
z2=16+48+(i*2+ab)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Haxenpeter!
Fred hat doch oben klar beschrieben, was Du machen sollst. Du musst hier in Realteil und Imaginärteil unterscheiden sowie einen Koeffizientenvergleich durchführen.
Es gilt:
$$ [mm] 4*\left(-1-\wurzel{3}*i\right) [/mm] \ = \ [mm] a^2-b^2+i*2ab [/mm] $$
$$ [mm] \blue{-4} [/mm] \ [mm] \red{-4*\wurzel{3}}*i [/mm] \ = \ [mm] \blue{a^2-b^2}+i*\red{2ab} [/mm] $$
Daraus ergibt sich:
[mm] $$\blue{a^2-b^2 \ = \ -4}$$
[/mm]
[mm] $$\red{2ab \ = \ -4*\wurzel{3}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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