Lösung der homogenen lin. DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Sa 16.01.2010 | | Autor: | tynia |
| Aufgabe | | Erläutere den Satz über die Lösung der homogenen linearen DGL erster Ordnung. |
Hallo. Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben, was ich hier jetzt genau erläutern soll? Ich weiß irgendwie nicht was gemeint ist.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Sa 16.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Erläutere den Satz über die Lösung der homogenen
> linearen DGL erster Ordnung.
> Hallo. Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben, was
> ich hier jetzt genau erläutern soll? Ich weiß irgendwie
> nicht was gemeint ist.
z.B., welche algebraische Struktur die Lösungsmenge einer solchen Gleichung hat
FRED
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Sa 16.01.2010 | | Autor: | tynia |
Also ich habe jetzt folgendes dazu:
Satz über die Lösung der homogenen linearen DGL
Die Funktion a(x) sei stetig auf dem Intervall I. Dann sind genau die Funktionen [mm] y(x)=Ce^{\integral_{}^{}{a(x) dx}}(C=eine [/mm] beliebige Konstante) Integrale der Differentialgleichung y′ = a(x)y.
Die Anfangswertaufgabe y'=d(x)y, [mm] y_{0}= y(x_{0})mit [/mm] den Konstanten [mm] x_{0} \in [/mm] I und [mm] y_{0} [/mm] besitzt genau eine Lösung, die durch Anpassung des
Koeffizienten C gewonnen werden kann:
[mm] y(x)=y_{0}e^{\integral_{x_{0}}^{x}{a(t) dt}}
[/mm]
Bemerkung:
Wenn der Entwicklungskoeffizient k-mal stetig differenzierbar ist, sind die
Integrale der homogenen Lösung (k+1) – mal stetig differenzierbar!
Kann man das so lassen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 So 17.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also ich habe jetzt folgendes dazu:
>
> Satz über die Lösung der homogenen linearen DGL
>
> Die Funktion a(x) sei stetig auf dem Intervall I. Dann sind
> genau die Funktionen [mm]y(x)=Ce^{\integral_{}^{}{a(x) dx}}(C=eine[/mm]
> beliebige Konstante) Integrale der Differentialgleichung
> y′ = a(x)y.
Aha, und welche Struktur hat dann die Menge dieser Lösungen ?
Ist das ein Lebkuchen oder ein Eimer voll Wasswer oder vielleicht ein Vektorraum ? Falls es ein Vektorraum ist, welche Dimension hat dieser ?
FRED
>
> Die Anfangswertaufgabe y'=d(x)y, [mm]y_{0}= y(x_{0})mit[/mm] den
> Konstanten [mm]x_{0} \in[/mm] I und [mm]y_{0}[/mm] besitzt genau eine
> Lösung, die durch Anpassung des
> Koeffizienten C gewonnen werden kann:
>
> [mm]y(x)=y_{0}e^{\integral_{x_{0}}^{x}{a(t) dt}}[/mm]
>
> Bemerkung:
> Wenn der Entwicklungskoeffizient k-mal stetig
> differenzierbar ist, sind die
> Integrale der homogenen Lösung (k+1) – mal stetig
> differenzierbar!
>
> Kann man das so lassen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Mo 18.01.2010 | | Autor: | tynia |
Ich habe keine ahnung was du meinst???![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Mo 18.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Du hast selbst geschrieben:
Dann sind genau die Funktionen $ [mm] y(x)=Ce^{\integral_{}^{}{a(x) dx}}(C=eine [/mm] $ beliebige Konstante) Integrale der Differentialgleichung y′ = a(x)y.
Sei jetzt A eine Stammfunktion von a. Setze [mm] y_0(x)= e^{A(x)}
[/mm]
Wie Du selbst geschrieben hast, ist die Mengge der Lösungen der Differentialgleichung y′ = a(x)y gegeben durch
[mm] $\{C*y_0: C \in \IR\}$
[/mm]
Also ein Lebkuchen ist das nicht, ein Eimer voll Wasser auch nicht, aber ein reeller Vektorraum der Dimension 1
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 Mo 18.01.2010 | | Autor: | tynia |
Aha, ok. Danke
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