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| Aufgabe | Finden sie alle Lösungen der Differentialgleichungen:
a) [mm] y' +2xy = xe^{-x^2} [/mm]
b) [mm]y' + ycosx = xe^{x-sinx} [/mm] |
Hallöchen erstmal,
So ich bleibe irgendwie immer bei der gleichen Sache hängen. Vielleicht kann mir von euch ja mal einer weiterhelfen oder mir einen Tipp geben.
Ich fange mal an, so weit wie ich komme.
Wir habe das so gelernt: y'=a(t)y+b(t)
dann ist [mm]\varphi(t) = exp \integral a(t) dt [/mm]
ich glaube das bestimmt die homogene Gleichung wenn ich das richtig verstanden habe.
und dann ist: [mm]\psi (t) = \varphi(t) \integral \bruch {b(t)}{\varphi(t)} dt [/mm].
Ich glaube das ist die Lösung der inhomgenen Gleichung.
So angewandt auf meine Aufgabe heißt das doch:
[mm] y'= -2xy+xe^{-x^2}[/mm], also ist [mm]a(t)= -2t[/mm] und [mm]b(t)=te^{t^2}[/mm].
Eingesetzt in meine tolle Formel ist dann
[mm]\varphi(t) = exp \integral -2t dt = e^{-t^2}[/mm]. Soweit hoffe ich ist noch alles richtig.
Jetzt kommt mein [mm]\psi(t)[/mm] also
[mm]\psi(t) = \varphi(t) \integral \bruch {te^{-t^2}} {e^{-t^2}} [/mm]
Ich glaub aufschreiben hilft. Jetzt ist mir gerade eingefallen, dass ich wenn ich den Nenner hoch hole, [mm] e^{-t^2}* e^{-t^2} [/mm] sich zu 1 wegkürzt und im Integral nur noch t übrig bleibt. Davon die Stammfunktion ist ja leicht. [mm]1/2 t^2[/mm]
Also sollte die Lösung dann sein [mm] 1/2t^2 e^{-t^2}[/mm]
Oh mein Gott, kann das denn sein? Wenn das wirklich so ist kann ich für fast für heute Schluß machen, ich setze mich mal an die b) ran und vielleicht habe ich ja dazu noch fragen.
Ich wäre dankbar wenn hier mal einer drüber schaut, ob auch wirklich alles richtig ist und ich nicht nur im Wahn und Freudentaumel bin.
Danke Lucky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Mo 15.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab keinen Fehler gefunden, ausser dass du die Integrationskonstante Weggelassen hast.
Deine allgemeine Lösung ist also [mm] y=A*x*e^{-x^2}+1/2*t^2*e^{-t^2}
[/mm]
es ist immer gut, das am Ende noch in die ursprüngliche DGL einzusetzen, dann merkt man Fehler und auch ob mans richtig hat!
Gruss leduart
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> Hallo
> ich hab keinen Fehler gefunden, ausser dass du die
> Integrationskonstante Weggelassen hast.
> Deine allgemeine Lösung ist also
> [mm]y=A*x*e^{-x^2}+1/2*t^2*e^{-t^2}[/mm]
Wie bist du denn jetzt daran gekommen? Das habe ich jetzt nicht ganz verstanden.
>
> es ist immer gut, das am Ende noch in die ursprüngliche DGL
> einzusetzen, dann merkt man Fehler und auch ob mans richtig
> hat!
Und wie setzte ich das dann richtig ein? Ich glaube den Sinn dieser ganzen Sache habe ich noch nicht verstanden, bin aber froh sie erstmal ausrechnen zu können.
Aber Danke erstmal fürs drüberschauen. Das baut mich auf.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Mo 15.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> > Hallo
> > ich hab keinen Fehler gefunden, ausser dass du die
> > Integrationskonstante Weggelassen hast.
> > Deine allgemeine Lösung ist also
> > [mm]y=A*x*e^{-x^2}+1/2*t^2*e^{-t^2}[/mm]
Du hattest doch dein [mm] \psi(t)=\phi(t)*\integral{t dt} [/mm]
und [mm] \integral{t dt} [/mm] ist [mm] 1/2t^2+A
[/mm]
> Wie bist du denn jetzt daran gekommen? Das habe ich jetzt
> nicht ganz verstanden.
> >
> > es ist immer gut, das am Ende noch in die ursprüngliche DGL
> > einzusetzen, dann merkt man Fehler und auch ob mans richtig
> > hat!
>
> Und wie setzte ich das dann richtig ein? Ich glaube den
> Sinn dieser ganzen Sache habe ich noch nicht verstanden,
> bin aber froh sie erstmal ausrechnen zu können.
Du hast ja ne Gleichung zwischen y',y,x
da setzt du dein mühsam errechnetes y ein!
Dazu musst du natürlich erst noch y' ausrechnen.
es ist nichts anderes als wenn du etwa nach dem Lösen einer quadratischen Gleichung
etwa [mm] x^2-x+6=0 [/mm] ne Lösung x=3 raushast. um zu prüfen, ob die Lösung richtig ist, musst du erst [mm] x^2 [/mm] bilden, dann in die Gleichung [mm] x^2 [/mm] und x einsetzen und nachsehen ob 0 razskommt.
hier ists halt was länger y' auszurechnen, aber im Prinzip das gleiche Vorgehen: Wenn man behauptet, dass etwas ne Gleichung erfüllt, setzt man es ein und muss irgendwie auf 0=0 oder 1=1 oder so kommen
Gruss leduart
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> Hallo
> > > Hallo
> > > ich hab keinen Fehler gefunden, ausser dass du die
> > > Integrationskonstante Weggelassen hast.
> > > Deine allgemeine Lösung ist also
> > > [mm]y=A*x*e^{-x^2}+1/2*t^2*e^{-t^2}[/mm]
> Du hattest doch dein [mm]\psi(t)=\phi(t)*\integral{t dt}[/mm]
> und [mm]\integral{t dt}[/mm] ist [mm]1/2t^2+A[/mm]
>
Sorry aber das ist mir gerade gar nicht klar. O.K ich bin so weit, dass ich die konstante vergessen habe, und ich weiß [mm]\integral{t dt}[/mm] ist [mm]1/2t^2+A[/mm] mit Konstanter. Verstehe ich. aber wie kommst du dann auf [mm]y=A*x*e^{-x^2}+1/2*t^2*e^{-t^2}[/mm]
was setzt du da genau zusammen? Sorry wenn ich noch mal so blöd nachfrage. Aber wenn ich die Aufgabe schon eigentlich fast richtig habe, dann will ich es jetzt auch verstehen.
> Du hast ja ne Gleichung zwischen y',y,x
> da setzt du dein mühsam errechnetes y ein!
> Dazu musst du natürlich erst noch y' ausrechnen.
> es ist nichts anderes als wenn du etwa nach dem Lösen
> einer quadratischen Gleichung
> etwa [mm]x^2-x+6=0[/mm] ne Lösung x=3 raushast. um zu prüfen, ob
> die Lösung richtig ist, musst du erst [mm]x^2[/mm] bilden, dann in
> die Gleichung [mm]x^2[/mm] und x einsetzen und nachsehen ob 0
> razskommt.
> hier ists halt was länger y' auszurechnen, aber im Prinzip
> das gleiche Vorgehen: Wenn man behauptet, dass etwas ne
> Gleichung erfüllt, setzt man es ein und muss irgendwie auf
> 0=0 oder 1=1 oder so kommen
Also zusammenfassend muß ich nachdem ich integriert habe wieder die Ableitung bilden, und dann alles in die usrpüngliche Gleichung einsetzten und langsam ausrechen?
Ja manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Nochmals vielen Dank für deine Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Mo 15.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> > und [mm]\integral{t dt}[/mm] ist [mm]1/2t^2+A[/mm]
> >
> Sorry aber das ist mir gerade gar nicht klar. O.K ich bin
> so weit, dass ich die konstante vergessen habe, und ich
> weiß [mm]\integral{t dt}[/mm] ist [mm]1/2t^2+A[/mm] mit Konstanter. Verstehe
> ich. aber wie kommst du dann auf
> [mm]y=A*x*e^{-x^2}+1/2*t^2*e^{-t^2}[/mm]
ich hab leider mal t mal x geschrieben! sorry
also [mm] \phi(x)=x*e^{-x^2}
[/mm]
[mm] \psi(x)=\phi(x)*(1/2x^2+A) [/mm] Klammer ausmultipliziert gibt das oben, wenn man natürlich t durch x ersetzt. da in der urspr. fkt ja y(x) steht.
> was setzt du da genau zusammen? Sorry wenn ich noch mal so
> blöd nachfrage. Aber wenn ich die Aufgabe schon eigentlich
> fast richtig habe, dann will ich es jetzt auch verstehen.
>
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> > Du hast ja ne Gleichung zwischen y',y,x
> > da setzt du dein mühsam errechnetes y ein!
> > Dazu musst du natürlich erst noch y' ausrechnen.
> > es ist nichts anderes als wenn du etwa nach dem Lösen
> > einer quadratischen Gleichung
> > etwa [mm]x^2-x+6=0[/mm] ne Lösung x=3 raushast. um zu prüfen, ob
> > die Lösung richtig ist, musst du erst [mm]x^2[/mm] bilden, dann in
> > die Gleichung [mm]x^2[/mm] und x einsetzen und nachsehen ob 0
> > razskommt.
> > hier ists halt was länger y' auszurechnen, aber im
> Prinzip
> > das gleiche Vorgehen: Wenn man behauptet, dass etwas ne
> > Gleichung erfüllt, setzt man es ein und muss irgendwie auf
> > 0=0 oder 1=1 oder so kommen
>
> Also zusammenfassend muß ich nachdem ich integriert habe
> wieder die Ableitung bilden, und dann alles in die
> usrpüngliche Gleichung einsetzten und langsam ausrechen?
> Ja manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Ja, nur dass du ja nicht y integriert hast, sondern mit Hilfe eines Integrals y(x) rausgefunden hast. deshalb stört mich das "wieder" in deinem satz.
Gruss leduart
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