Lösung Dgl-System < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist ein Dgl-System (AWP) in der folgenden Form:
[mm] \begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\2 & 1 & 0\\1 & 1 & -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}y_1'\\y_2'\\y_3'\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 2 &2\\-2 & -2 & 0\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\e^x\end{pmatrix} [/mm] mit [mm] \begin{pmatrix}y_1(0)\\y_2(0)\\y_3(0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
[/mm]
Geben sie die Einzeldgl. des Systemes an und eleminieren Sie dann zwei der unbekannten Funktionen |
Einzeldgl hab ich:
[mm] y_2'-y_3'+2\cdot y_2+2\cdot y_3=0
[/mm]
[mm] 2\cdot y_1'+y_2'-2\cdot y_1-2\cdot y_2=0
[/mm]
[mm] y_1'+y_2'-y_3'+y_2+y_3=e^x
[/mm]
Zja und jetzt hab ich das Problem, wie eliminier ich da zwei Gleichungen, hab da schon probiert nur bleibt immer was zuviel uebrig?
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Hallo dermoench,
> Gegeben ist ein Dgl-System (AWP) in der folgenden Form:
> [mm]\begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\2 & 1 & 0\\1 & 1 & -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}y_1'\\y_2'\\y_3'\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 2 &2\\-2 & -2 & 0\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\e^x\end{pmatrix}[/mm]
> mit
> [mm]\begin{pmatrix}y_1(0)\\y_2(0)\\y_3(0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}[/mm]
> Geben sie die Einzeldgl. des Systemes an und eleminieren
> Sie dann zwei der unbekannten Funktionen
> Einzeldgl hab ich:
> [mm]y_2'-y_3'+2\cdot y_2+2\cdot y_3=0[/mm]
> [mm]2\cdot y_1'+y_2'-2\cdot y_1-2\cdot y_2=0[/mm]
>
> [mm]y_1'+y_2'-y_3'+y_2+y_3=e^x[/mm]
> Zja und jetzt hab ich das Problem, wie eliminier ich da
> zwei Gleichungen, hab da schon probiert nur bleibt immer
> was zuviel uebrig?
>
Die Matrix
[mm] \begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\2 & 1 & 0\\1 & 1 & -1\end{pmatrix}[/mm]
ist doch invertierbar.
Multipliziere die ganze Gleichung von links mit
[mm]\begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\2 & 1 & 0\\1 & 1 & -1\end{pmatrix}^{-1}[/mm]
Gruß
MathePower
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Auch wenn das jetzt blöd klingt, aber ich verstehs nicht ganz, was mir das bringt. Ich komm dann auf, wenn ich es mit der Inversen multipliziere:
[mm] \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}y_1'\\y_2'\\y_3'\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6&4&-8\\-2&-2&2\\3&2&-4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\e^x\end{pmatrix}
[/mm]
=
[mm] y_1'+6y_1+4y_2-8y_3=0 [/mm] (1)
[mm] y_2'-2y_1-2y_2-2y_3=0 [/mm] (2)
[mm] y_3'+3y_1+2y_2-4y_3=e^x [/mm] (3)
Wenn ich jetzt zum Bsp die [mm] (1)-2\cdot(3) [/mm] nehme, komm ich auf
[mm] y_1'-2y_3'=-2\cdot e^x
[/mm]
aber da hab ich auch noch nix gekonnt oder [mm] (1)+3\cdot(2)
[/mm]
[mm] y_1'+3y_2'-2y_2-14y_3=0
[/mm]
bringt mir auch nix.
Oder seh ich da was falsch?
Danke schon mal
Jens
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Hallo dermoench.
> Auch wenn das jetzt blöd klingt, aber ich verstehs nicht
> ganz, was mir das bringt. Ich komm dann auf, wenn ich es
> mit der Inversen multipliziere:
>
> [mm]\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}y_1'\\y_2'\\y_3'\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6&4&-8\\-2&-2&2\\3&2&-4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\e^x\end{pmatrix}[/mm]
> =
> [mm]y_1'+6y_1+4y_2-8y_3=0[/mm] (1)
> [mm]y_2'-2y_1-2y_2-2y_3=0[/mm] (2)
> [mm]y_3'+3y_1+2y_2-4y_3=e^x[/mm] (3)
> Wenn ich jetzt zum Bsp die [mm](1)-2\cdot(3)[/mm] nehme, komm ich
> auf
> [mm]y_1'-2y_3'=-2\cdot e^x[/mm]
> aber da hab ich auch noch nix
> gekonnt oder [mm](1)+3\cdot(2)[/mm]
> [mm]y_1'+3y_2'-2y_2-14y_3=0[/mm]
> bringt mir auch nix.
> Oder seh ich da was falsch?
So wie ich das sehe. hast Du die Gleichung
[mm] \begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\2 & 1 & 0\\1 & 1 & -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}y_1'\\y_2'\\y_3'\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 2 &2\\-2 & -2 & 0\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\e^x\end{pmatrix} [/mm]
mit
[mm]\begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\2 & 1 & 0\\1 & 1 & -1\end{pmatrix}^{-1}[/mm]
von rechts multipliziert:
[mm] \begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\2 & 1 & 0\\1 & 1 & -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}y_1'\\y_2'\\y_3'\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\2 & 1 & 0\\1 & 1 & -1\end{pmatrix}^{-1}+\begin{pmatrix}0 & 2 &2\\-2 & -2 & 0\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\2 & 1 & 0\\1 & 1 & -1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}0\\0\\e^x\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\2 & 1 & 0\\1 & 1 & -1\end{pmatrix}^{-1}[/mm]
Gedacht war aber:
[mm] \begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\2 & 1 & 0\\1 & 1 & -1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\2 & 1 & 0\\1 & 1 & -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}y_1'\\y_2'\\y_3'\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\2 & 1 & 0\\1 & 1 & -1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}0 & 2 &2\\-2 & -2 & 0\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\2 & 1 & 0\\1 & 1 & -1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}0\\0\\e^x\end{pmatrix} [/mm]
[mm]\gdw \begin{pmatrix}y_1'\\y_2'\\y_3'\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\2 & 1 & 0\\1 & 1 & -1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}0 & 2 &2\\-2 & -2 & 0\\0 & 1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\2 & 1 & 0\\1 & 1 & -1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}0\\0\\e^x\end{pmatrix} [/mm]
> Danke schon mal
> Jens
Gruß
MathePower
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