Lösung DGL 1. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei folgende Differentialgleichung:
[mm] \bruch{dp}{dt}=a*p-b*p^2
[/mm]
Lösen Sie o.g. DGL auf zwei verschiedene Arten. |
Hi,
also meine erste Lösung ist folgende:
[mm] \bruch{dp}{dt}=a*p-b*p^2
[/mm]
[mm] \bruch{dt}{dp}=\bruch{1}{a*p-b*p^2}
[/mm]
integrieren mit variable t
[mm] t+C=\bruch{1}{a}*ln(p)-\bruch{1}{a}+ln(a-bp)
[/mm]
durchmultiplizieren mit a und "hoch e" nehmen ergibt dann:
[mm] e^{a*C}*e^{a*t}=\bruch{p}{a-bp}
[/mm]
[mm] k=e^{a*C} [/mm] und auflösen nach p ergibt dann:
[mm] p=\bruch{a*k*e^{a*t}}{1+b*k*e^{a*t}}=\bruch{a*k}{e^{-a*t}+b*k}
[/mm]
So, das stimmt hoffentlich. Nun Weg Nr. 2.
Die Substitution [mm] p=\bruch{1}{q} [/mm] sollte helfen, das differential ergibt sich dann nach der kettenregel wie folgt:
[mm] \bruch{dp}{dt}=\bruch{dp}{dq}*\bruch{dq}{dt}
[/mm]
[mm] \bruch{dp}{dq}=\bruch{-1}{q^2}*\bruch{dq}{dt}
[/mm]
Einsetzen in die Gleichung ergibt dann:
[mm] \bruch{-1}{q^2}*\bruch{dq}{dt}=a*\bruch{1}{q}-b*\bruch{1}{q^2}
[/mm]
durchmultiplizieren mit [mm] q^2, [/mm] kehrwert nehmen und integrieren:
ergibt:
[mm] -\integral_{}^{}{1 dt}=\integral{\bruch{1}{a*q-b} dx}
[/mm]
das ergibt dann:
[mm] -t+C=\bruch{1}{a}*ln(aq-b)
[/mm]
durchmultiplizieren mit a und "hoch e nehmen":
[mm] e^{-a*t}*e^{a*C}=a*q-b
[/mm]
[mm] k*e^{-a*t}=a*q-b
[/mm]
[mm] q=\bruch{k*e^{-a*t}+b}{a}
[/mm]
[mm] p=\bruch{a}{k*e^{-a*t}+b}
[/mm]
Was mir jetzt nicht in den Kram passt ist offensichtlich... Die beiden Lösungen sind nicht identisch.
Sieht jemand wo der Fehler liegt ?
Lg
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Hallo eXeQteR,
> Gegeben sei folgende Differentialgleichung:
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> [mm]\bruch{dp}{dt}=a*p-b*p^2[/mm]
>
> Lösen Sie o.g. DGL auf zwei verschiedene Arten.
> Hi,
>
> also meine erste Lösung ist folgende:
>
> [mm]\bruch{dp}{dt}=a*p-b*p^2[/mm]
>
> [mm]\bruch{dt}{dp}=\bruch{1}{a*p-b*p^2}[/mm]
>
> integrieren mit variable t
>
> [mm]t+C=\bruch{1}{a}*ln(p)-\bruch{1}{a}+ln(a-bp)[/mm]
Statt dem "+" muß doch ein "*" (Mal) stehen.
[mm]t+C=\bruch{1}{a}*ln(p)-\bruch{1}{a}\red{*}ln(a-bp)[/mm]
>
> durchmultiplizieren mit a und "hoch e" nehmen ergibt dann:
>
> [mm]e^{a*C}*e^{a*t}=\bruch{p}{a-bp}[/mm]
>
> [mm]k=e^{a*C}[/mm] und auflösen nach p ergibt dann:
>
> [mm]p=\bruch{a*k*e^{a*t}}{1+b*k*e^{a*t}}=\bruch{a*k}{e^{-a*t}+b*k}[/mm]
>
> So, das stimmt hoffentlich. Nun Weg Nr. 2.
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Die Substitution [mm]p=\bruch{1}{q}[/mm] sollte helfen, das
> differential ergibt sich dann nach der kettenregel wie
> folgt:
>
> [mm]\bruch{dp}{dt}=\bruch{dp}{dq}*\bruch{dq}{dt}[/mm]
> [mm]\bruch{dp}{dq}=\bruch{-1}{q^2}*\bruch{dq}{dt}[/mm]
>
> Einsetzen in die Gleichung ergibt dann:
>
> [mm]\bruch{-1}{q^2}*\bruch{dq}{dt}=a*\bruch{1}{q}-b*\bruch{1}{q^2}[/mm]
>
> durchmultiplizieren mit [mm]q^2,[/mm] kehrwert nehmen und
> integrieren:
>
> ergibt:
>
> [mm]-\integral_{}^{}{1 dt}=\integral{\bruch{1}{a*q-b} dx}[/mm]
>
> das ergibt dann:
>
> [mm]-t+C=\bruch{1}{a}*ln(aq-b)[/mm]
>
> durchmultiplizieren mit a und "hoch e nehmen":
>
> [mm]e^{-a*t}*e^{a*C}=a*q-b[/mm]
>
> [mm]k*e^{-a*t}=a*q-b[/mm]
>
> [mm]q=\bruch{k*e^{-a*t}+b}{a}[/mm]
>
> [mm]p=\bruch{a}{k*e^{-a*t}+b}[/mm]
>
> Was mir jetzt nicht in den Kram passt ist offensichtlich...
> Die beiden Lösungen sind nicht identisch.
>
> Sieht jemand wo der Fehler liegt ?
Der Fehler liegt in der Definition der Konstanten.
Verwende ich für die erste Art, die Konstante [mm]k_{1}[/mm]
und für die zweite Art die Konstante [mm]k_{2}[/mm], so ergibt sich:
[mm]p_{1}\left(t\right)=\bruch{a*k_{1}*e^{a*t}}{1+b*k_{1}*e^{a*t}}=\bruch{a*k_{1}}{e^{-a*t}+b*k_{1}}[/mm]
[mm]p_{2}\left(t\right)=\bruch{a}{k_{2}*e^{-a*t}+b}[/mm]
Die Lösungen sind identisch, wenn:
[mm]p_{1}\left(t\right)=p_{2}\left(t\right) \gdw k_{1}*k_{2}=1[/mm]
>
> Lg
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Di 26.01.2010 | | Autor: | MontBlanc |
hi,
natürlich, du hast recht.
vielen dank für deine antwort.
lg,
exe
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