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Lösen von DGL´s: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:36 So 23.01.2011
Autor: Vertax

Aufgabe
Lösen Sie folgende DGL:
[mm] y'+\frac{7}{x}*y [/mm] = [mm] 12*x^4 [/mm] mit y(1)=3

Könnte mal bitte jemand mein Ergebniss Überprüfen:

[mm] (x^{12}+2)*e^{-7*ln(x)} [/mm]

        
Bezug
Lösen von DGL´s: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:41 So 23.01.2011
Autor: notinX

Hallo,

> Lösen Sie folgende DGL:
>  [mm]y'+\frac{7}{x}*y[/mm] = [mm]12*x^4[/mm] mit y(1)=3
>  Könnte mal bitte jemand mein Ergebniss Überprüfen:
>  
> [mm](x^{12}+2)*e^{-7*ln(x)}[/mm]  

Du kannst die Lösung ganz leicht selbst überprüfen. Setzt Deine Lösung in die DGL ein, wenn die Gleichung erfüllt ist stimmt die Lösung.
Aber so auf den ersten Blick sieht es so aus, als wär die Lösung falsch. Zeig doch mal, wie Du drauf gekommen bist.

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Lösen von DGL´s: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:06 So 23.01.2011
Autor: Vertax

Ok mein Rechen weg:

[mm]\frac{dy}{dx} = - \frac{7}{x}*y[/mm] *dx
[mm]dy = -\frac{7}{x} dx[/mm] | :y
[mm]\frac{dy}{y} = -\frac{7}{x} dx[/mm] [mm] |\Integral [/mm]
[mm]ln(y) = -7*ln(x)+C[/mm] |e
[mm]y = e^{-7*ln(x)+C} = e^{-7ln(x)}*e^C = e^{-7ln(x)} * k[/mm]

So kleine Nebenrechnung:
[mm] e^{-7ln(x)} [/mm] = [mm] e^{-7 * ln(x)} [/mm] = [mm] e^{ln(x^{-7})} [/mm] = [mm] x^{-7} [/mm]

Weiter im Kontext:

y = k(x) * [mm] x^{-7} [/mm]


          y' = k' [mm] *x^{-7}+k*x^{-7}*-7x^{-8} [/mm]
[mm] -7x^{-8}y [/mm]    =           [mm] -k*x^{-7}*-7x^{-8} [/mm]
--------------------------------------
addieren

[mm] -7*x^{-8}*y+y' [/mm] = k' * [mm] x^{-7} [/mm]

[mm]k'*x^{-7} = 12x^4 [/mm] | * [mm] x^7 [/mm]

[mm]k' = 12x^4*x^7 = 12x^{11}[/mm]
k = [mm] x^{12} [/mm] + [mm] C_2 [/mm]

Ok k(x) einsetzen in k(x) * [mm] x^{-7} [/mm]

[mm] (x^{12}+C_2) [/mm] * [mm] x^{-7} [/mm]

Ok nun [mm] C_2 [/mm] ausrechnen aus y=3 und x =1

3 = [mm] (1^{12}+C_2)*1^{-7} [/mm]
3 = 1 + [mm] C_2 [/mm]
[mm] C_2 [/mm] = 2

Ergebniss: [mm] (x^{12}+2) [/mm] * [mm] x^{-7} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Lösen von DGL´s: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:29 So 23.01.2011
Autor: notinX

Oh, ich muss mich bei Dir entschuldigen. Ich hab mich verrechnet.
Deine Rechnung und Deine Lösung stimmen.

Gruß,

notinX

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Bezug
Lösen von DGL´s: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:40 So 23.01.2011
Autor: Vertax

Musst dich nicht entschuldigen, ich hab von dem ganzen Zeug doch hier null Peil, bin froh wenn mir Leute wie du bestätigen können ob ichs richtig gemacht habe.

Danke dir

Bezug
                                        
Bezug
Lösen von DGL´s: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 So 23.01.2011
Autor: notinX


> Musst dich nicht entschuldigen, ich hab von dem ganzen Zeug
> doch hier null Peil, bin froh wenn mir Leute wie du
> bestätigen können ob ichs richtig gemacht habe.

Wie gesagt, es stimmt. Kannst es ja probehalber nochmal durch Einsetzen der Lösung verifizieren.

>  
> Danke dir

Gern geschehen.

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