Lösen kompl. Gleich. 3. Grades < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:02 Di 20.11.2007 | | Autor: | hhhhhh |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen z [mm] \in [/mm] IC der folgenden Gleichung.
[mm] z^3 [/mm] + (2 - [mm] 3i)z^2 [/mm] + (1 + 2i)z + 24 - 3i = 0
(Hinweis: Für welche y [mm] \in [/mm] IR ist z = iy eine Lösung?) |
Mein Ansatz:
[mm]
z = yi
-y^3i - (2 - 3i)y^2 + (1 + 2i)yi + 24 - 3i = 0
-y^3i - y^2 + 3y^2i + yi - 2y + 24 - 3i = 0
(-y^2 - 2y) + (-y^3 +3y^2 + y)i = -24 + 3i
=> Lineares Gleichungssystem
-y^2 - 2y = -24
-y^3 + y^2 + y = 3
Ab hier wirds wohl falsch
y^2 = 24 - 2y
=> -y(24 - 2y) + 24 - 2y + y = 3
-24y + 2y^2 +24 - y - 3 = 0
2y^2 - 25y + 21 = 0
ABC ergibt:
y1/2 = \bruch{ (25 \pm \wurzel{457}) / 4
Stimmt aber nicht.
[/mm]
Komme einfach nicht weiter. Vielleicht hat jemand eine Idee wie man das Teil sonst lösen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie alle Lösungen z [mm]\in[/mm] IC der folgenden
> Gleichung.
>
> [mm]z^3[/mm] + (2 - [mm]3i)z^2[/mm] + (1 + 2i)z + 24 - 3i = 0
>
> (Hinweis: Für welche y [mm]\in[/mm] IR ist z = iy eine Lösung?)
> Mein Ansatz:
>
> [mm]
z = yi
-y^3i - (2 - [mm] 3i)y^2 [/mm] + (1 + 2i)yi + 24 - 3i = 0
-y^3i - [mm] y^2 [/mm] + 3y^2i + yi - 2y + 24 - 3i = 0
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast in der zweiten Zeile einen Fehler, es muß dort doch heißen [mm] -2y^2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Di 20.11.2007 | | Autor: | hhhhhh |
Unglaublich, so ein simpler Fehler... naja so passiert das wenn man nachts Mathe macht ;)
Also, habe jetzt das Gleichungssystem gelöst:
[mm]
(1) -2y^2 - 2y = -24 => y^2 = 12 - y
(2) -y^3 + 3y^2 +y = 3
(1) in (2):
-y(12 - y) + 3(12 - y) + y = 3
-12y +y^2 + 36 - 3y + y = 3
y^2 - 14y + 33 = 0
Lösung durch ABC-Formel:
y1 = 11
y2 = 3
Probe:
y2 = 3 erfüllt die Gleichung, y1 = 11 jedoch nicht.
Woran könnte dies liegen?
[/mm]
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> Unglaublich, so ein simpler Fehler... naja so passiert das
> wenn man nachts Mathe macht ;)
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> Also, habe jetzt das Gleichungssystem gelöst:
>
> [mm]
(1) [mm] -2y^2 [/mm] - 2y = -24 => [mm] y^2 [/mm] = 12 - y
(2) [mm] -y^3 [/mm] + [mm] 3y^2 [/mm] +y = 3
(1) in (2):
-y(12 - y) + 3(12 - y) + y = 3
-12y [mm] +y^2 [/mm] + 36 - 3y + y = 3
[mm] y^2 [/mm] - 14y + 33 = 0
Lösung durch ABC-Formel:
y1 = 11
y2 = 3
Probe:
y2 = 3 erfüllt die Gleichung, y1 = 11 jedoch nicht.
Woran könnte dies liegen?
Hallo,
Du bist sehr unbescheiden...
Ich würde die Sache aus einem vollig anderen Blickwinkel betrachten:
mit (1) und (2) hast Du zwei Gleichungen mit nur einer Variablen, und es ist ja überhaupt nicht gesagt, daß man da auch nur eine Lösung findet.
(1) ist eine quadratische Gleichung, hat also für sich höchstens zwei Lösungen, (3) eine kubische, hat also für sich höchstens drei Lösungen.
Wenn es da ein y gibt, welches (1) und (2) gleichzeitig löst, ist das ein Grund zu großer Freude!
Die Gleichungen (x-1)(x-2)(x-3)=0 und (x-4)(x-5)=0 können wir nämlich z.B. nicht gleichzeitig erfüllen.
Die Lösung Deines Gleichungssystems fnde ich irritierend umständlich: (1) ist eine quadratiche Gleichung, die kann man doch sofort lösen (y=3 oder y=-4).
Durch Einsetzen in die zweite Gleichung kann man dann schauen, ob's eine der beiden Lösungen tut.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 Di 20.11.2007 | | Autor: | hhhhhh |
Hey erstmal danke für deine schnellen und ausführlichen Antworten.
Mit dem schnelleren Lösungsweg hast du natürlich recht. Ist viel einfacher und auch vollkommen logisch.
Also nochmal Danke, du hast mir sehr weitergeholfen!
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