Lösen einer Dgl < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1. Die Differentialgleichung y´=xy hat eine eindeutige Lösung.
2. Die Differentialgleichung y´ [mm] =x^{2}y [/mm] hat lokal genau eine Lösung, die der Anfangswertbedingung y(0)=5 genügt. |
Hallo zusammen
ich hab mal wieder ein kleines Problem.im Moment habe ich irgendwie ein Brett vor dem Kopf.Kann mir jemand sagen wie man die obigen Aufgaben löst?danke schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 So 25.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathestudentin!
Diese Art DGL kannst Du mit Trennung der Variablen lösen:
$y' \ = \ [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] \ = \ x*y$
[mm] $\gdw$ $\bruch{dy}{y} [/mm] \ = \ x*dx$
[mm] $\Rightarrow$ $\blue{\integral}{\bruch{dy}{y}} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\integral}{x*dx}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\ln(y) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*x^2+c$
[/mm]
Kannst Du nun weiter nach $y \ = \ ...$ umstellen?
Die 2. Aufgabe funktioniert analog. Und durch den vorgegebenen Anfangswert mit $y(0) \ = \ 5$ lässt sich auch noch die Integrationskonstante bestimmen.
Gruß
Loddar
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Hallo,
erstmal danke für deine Antwort.habs jetzt besser verstanden.aber hat den y`=xy überhaupt eine eindeutige Lösung?weil das sind multiple choive aufgaben,müssen entscheiden zwischen "wahr" und "falsch".
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 So 25.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathestudentin!
Da hier kein Anfangswerrt gegeben ist, kann man die Integrationskonstante auch $c_$ nicht bestimmen. Daher gibt es ohne Anfangswert auch keine eindeutige Lösung.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
verstehe ich das richtig:wenn es eine Angangswertbedingung gibt,gibt es immer eine eindeutige Lösung?und gilt das nur für Dgls erster Ordnung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 So 25.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Mathestudentin
Bei einer Dgl 2. Grades muss nicht nur f(0) sondern auch f'(0) gegeben sein, oder man wandelt sie in ein 2d System von Dgl. um, und muss ein Paar von Anfangswerten vorgeben.
Der Beweis, dass die Lösung eindeutig ist macht man für lin. Dgl. In einr Umgebung eines punktes kann man dann jede Dgl linearisieren, wenn für y'=f(x,y) f(x,y stetig diferenzierbar ist.Deshalb ist deine 2. dgl eindeutig lösbar.
Gruss leduart
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| Aufgabe | | Die Differentialgleichung y``=-y hat lokal genau eine Lösung, die der Anfangswertbedingung y(0)=5 genügt. |
Hallo leduart,
wie beurteile ich denn obige Aussage?lokal bedeutet doch in einer Umgebung,oder?und muss ich muss doch dann die dgl erst in eine Form erster Ordnung bringen?
Gruß,die mathestudentin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 So 25.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da ist doch nur ein Anfangswert, keine Anfangssteigung vorgegeben, also nicht eindeutig, auch nicht lokal.
Die allgemeine Lösung ist y= Asint+Bcost durch eine Bedingung kannst du nicht A und B festlegen.
Gruss leduart
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