Lösen einer DGL mit AWP < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] (\bruch{1}{x^2}-y)+(y-x)y'=0 [/mm] y(1)=-1
Lösen Sie diese exakte DGL
Lösung:
y= [mm] x-\wurzel{x^2-\bruch{2}{x}+1} [/mm] |
Hallo,
ich versuche gerade DGL zu lösen, dabei traten bei mir ein paar Probleme auf, obwohl ich eigtl alles "so wie immer" mache....so ganz firm bin ich anscheinend doch noch nicht. Könntet ihr mir vllt weiterhelfen bei dem folgenden Problem? Ich seh den Wald vor Bäumen nicht :-(
[mm] (\bruch{1}{x^2}-y)+(y-x)y'=0
[/mm]
d.h.
[mm] P=(\bruch{1}{x^2}-y)
[/mm]
und Q=(y-x)
[mm] F_{x}=P [/mm] und
[mm] F_{y}=Q [/mm] ( [mm] F_{x} [/mm] bedeutet also Abltg. von F Stammfunktion nach x)
Also:
F = [mm] \integral_{}^{}{P dx}= -x^{-1}-xy+C(y)
[/mm]
[mm] F_{y}=-y+C'(y)=Q
[/mm]
-y+C'(y)=y-x
C'(y)=2y-x
--> [mm] C(y)=y^2-xy [/mm]
So, nun wäre bei geg. AWP doch C= [mm] (-1)^{2}-(1*(-1))=2
[/mm]
und somit
F(x,y)= [mm] -x^{-1}-xy+C(y) [/mm] also [mm] -x^{-1}-xy+2
[/mm]
Aber selbst wenn ich nun F(x,y)=0 setze und das ganze nach y auflöse, komme ich doch niemals auf den Term, der als Lsg. angegeben ist....?!
Was mache ich denn falsch?
Wie gesagt, ich sitze schon eine Weile, isch kriesch' hier noch die Motten... Danke für jeden Tipp!
LZ
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Hallo Loewenzahn,
> [mm](\bruch{1}{x^2}-y)+(y-x)y'=0[/mm] y(1)=-1
> Lösen Sie diese exakte DGL
> Lösung:
> y= [mm]x-\wurzel{x^2-\bruch{2}{x}+1}[/mm]
> Hallo,
> ich versuche gerade DGL zu lösen, dabei traten bei mir
> ein paar Probleme auf, obwohl ich eigtl alles "so wie
> immer" mache....so ganz firm bin ich anscheinend doch noch
> nicht. Könntet ihr mir vllt weiterhelfen bei dem folgenden
> Problem? Ich seh den Wald vor Bäumen nicht :-(
>
> [mm](\bruch{1}{x^2}-y)+(y-x)y'=0[/mm]
> d.h.
> [mm]P=(\bruch{1}{x^2}-y)[/mm]
> und Q=(y-x)
>
> [mm]F_{x}=P[/mm] und
> [mm]F_{y}=Q[/mm] ( [mm]F_{x}[/mm] bedeutet also Abltg. von F Stammfunktion
> nach x)
>
> Also:
> F = [mm]\integral_{}^{}{P dx}= -x^{-1}-xy+C(y)[/mm]
>
> [mm]F_{y}=-y+C'(y)=Q[/mm]
Hier muss es heißen: [mm]F_{y}=-\red{x}+C'(y)=Q[/mm]
>
> -y+C'(y)=y-x
>
> C'(y)=2y-x
> --> [mm]C(y)=y^2-xy[/mm]
>
> So, nun wäre bei geg. AWP doch C= [mm](-1)^{2}-(1*(-1))=2[/mm]
> und somit
> F(x,y)= [mm]-x^{-1}-xy+C(y)[/mm] also [mm]-x^{-1}-xy+2[/mm]
>
> Aber selbst wenn ich nun F(x,y)=0 setze und das ganze nach
> y auflöse, komme ich doch niemals auf den Term, der als
> Lsg. angegeben ist....?!
>
> Was mache ich denn falsch?
>
> Wie gesagt, ich sitze schon eine Weile, isch kriesch' hier
> noch die Motten... Danke für jeden Tipp!
> LZ
Gruss
MathePower
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okay, danke 
das ist ja schon mal was...aber iwie hab ich grad nen totalen hänger:
dann ist -x+C'(y)=y-x (=Q)
dann ist C(y)= [mm] 0.5*y^{2} [/mm] richtig?
wenn ich das nun mit y(1)=-1 verbasteln würde (also -1 einsetze) kommt C=0.5 raus...?
aber ich komme trotzdem nicht weiter, denn bei mir ist:
F(x,y) = [mm] -\bruch{1}{x}-yx+\bruch{y^{2}}{2} [/mm] weil [mm] C(y)=\bruch{y^{2}}{2}
[/mm]
und wenn ich in F(x,y) eben statt dem C(y)-Ausdruck "0,5" einsetze, und dann auflösen würde...sieht ja n blinder mit nem krückstock, dass ich iwas falsch mach :-(
danke für eure geduld...
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Hallo Loewenzahn,
> okay, danke
> das ist ja schon mal was...aber iwie hab ich grad nen
> totalen hänger:
>
> dann ist -x+C'(y)=y-x (=Q)
> dann ist C(y)= [mm]0.5*y^{2}[/mm] richtig?
> wenn ich das nun mit y(1)=-1 verbasteln würde (also -1
> einsetze) kommt C=0.5 raus...?
> aber ich komme trotzdem nicht weiter, denn bei mir ist:
> F(x,y) = [mm]-\bruch{1}{x}-yx+\bruch{y^{2}}{2}[/mm] weil
> [mm]C(y)=\bruch{y^{2}}{2}[/mm]
> und wenn ich in F(x,y) eben statt dem C(y)-Ausdruck "0,5"
> einsetze, und dann auflösen würde...sieht ja n blinder
> mit nem krückstock, dass ich iwas falsch mach :-(
Lösung einer solchen DGL ist [mm]F\left(x,y\right)=K[/mm]
Setze also die Anfangsbedingungen ein,
und Du bekommst das K, hier ist [mm]K=\bruch{1}{2}[/mm]
Dann musst Du die Gleichung
[mm]F\left(x,y\right)=\bruch{1}{2}[/mm]
nach y auflösen.
> danke für eure geduld...
>
Gruss
MathePower
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Vielen Dank für die Hilfe. Ich bin iwie total raus aus dem Thema.
Wieso genau ist denn die Funktion zu dieser Bedingung gleich dem errechneten K (bei mir C-)Wert? Denn schließlich steckt dieser Wert ja schon in der Funktion mit drinnen: F(x,y) = [mm] -\bruch{1}{x}-xy+C(y) [/mm] = 0 ?
Ich muss mir sonst einfach auswendig einprägen, dass ich den C-Wert an der "AWP"-Stelle ermittle, F=C setze und die allg. Lösung des C-Ausdrucks in F einsetze....und das ist ja nicht wirklich Mathematik :-(
Daaaaaanke dir!
LZ
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Hallo Loewenzahn,
> Vielen Dank für die Hilfe. Ich bin iwie total raus aus dem
> Thema.
> Wieso genau ist denn die Funktion zu dieser Bedingung
> gleich dem errechneten K (bei mir C-)Wert? Denn
> schließlich steckt dieser Wert ja schon in der Funktion
> mit drinnen: F(x,y) = [mm]-\bruch{1}{x}-xy+C(y)[/mm] = 0 ?
> Ich muss mir sonst einfach auswendig einprägen, dass ich
> den C-Wert an der "AWP"-Stelle ermittle, F=C setze und die
> allg. Lösung des C-Ausdrucks in F einsetze....und das ist
> ja nicht wirklich Mathematik :-(
Nun, da Du in Deinen Postings den Buchstaben C schon verwendest,
habe ich die rechte Seite der Lösung als K getauft.
Dann hast Du
[mm]-\bruch{1}{x}-yx+\bruch{y^{2}}{2}=K[/mm]
Um dieses K herauszubekommen,
setzt Du die gegebene Anfangsbedingung ein.
Hier ist bekanntlich [mm]K=\bruch{1}{2}[/mm].
Daher mußt Du die Gleichung
[mm]-\bruch{1}{x}-yx+\bruch{y^{2}}{2}=\bruch{1}{2}[/mm]
nach y auflösen.
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> Daaaaaanke dir!
> LZ
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:05 So 31.01.2010 | | Autor: | Loewenzahn |
Okay, dankeschön, jetzt hab ich meinen Fehler gefunden und es verstanden
Grüße,
LZ
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