Lösen einer DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Sa 02.08.2008 | | Autor: | magmaa |
| Aufgabe | Lösen der DGL und geben Sie den Ausdruck für h(t)an.
Geben Sie den Zahlenwert für Zeitkonstante an.
D=10cm, Q_zu=5kg/s, R=0.1m/(kg/s), Wasser p=10³kg/m³
Anfangsbedingung h(0)=0
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Also ich hab folgende DGL hab aber keinen Ansatz für die Lösung kann mir da einer weiter helfen?
[mm] $h_{0}=0$
[/mm]
[mm] $p*\bruch{\pi}{4}*D^{2}*\dot h=Q_{zu}-\bruch{h}{R}$
[/mm]
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Hallo!
Die ganzen verschiedenen Variablen verblenden einem ja die Sicht! Hier muss dringend ein wenig Ordnung geschafft werden:
Sei [mm]a := p*\bruch{\pi}{4}*D^{2}[/mm]
[mm]a*h'(t)=Q_{zu}-\bruch{h(t)}{R}[/mm]
[mm]\gdw h'(t)=\bruch{Q_{zu}}{a}-\bruch{h(t)}{R*a}[/mm]
So... sieht irgendwie schon viel netter aus 
Und das kannst du jetzt doch ganz einfach mit Trennung der Variablen lösen! Hier noch der Ansatz:
[mm]\gdw \bruch{d\ h(t)}{d\ t}=\bruch{Q_{zu}}{a}-\bruch{h(t)}{R*a}[/mm]
[mm]\gdw \bruch{1}{\bruch{Q_{zu}}{a}-\bruch{h(t)}{R*a}}\ d\ h(t)=1\ d\ t[/mm]
[mm]\gdw \integral{\bruch{R*a}{R*Q_{zu}-h(t)}\ d\ h(t)}=\integral{1\ d\ t}[/mm]
Wünsche frohes integrieren! Danach nach h(t) umstellen.
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Sa 02.08.2008 | | Autor: | magmaa |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
OK hab es mal versucht müsste passen das Ergebnis.
$\bruch{dh}{dt}=f(y) \gdw \bruch{d\ h(t)}{d\ t}=\bruch{Q_{zu}}{a}-\bruch{h(t)}{R\cdot{}a} $
umstellen
$\bruch{R\cdot{}a}{R\cdot{}Q_{zu}-h(t)}\ d\ h(t)}=1\ d\ t $
$\integral{\bruch{R\cdot{}a}{R\cdot{}Q_{zu}-h(t)}\ d\ h(t)}=\integral{1\ d\ t} $
$\integral{\bruch{0,785}{0,5-h(t)}}=\integral{1\ d\ t} $
Substitution $u=0,5-h(t) \Rightarrow \bruch{du}{d h(t)}=-1 \Rightarrow d t(h)=-1 du$
$-0,785\integral{\bruch{1}{u}du}=\integral{1dt}$
$-0.785*ln(u)=t+C \Rightarrow -0.785*ln(0,5-h)=t+C $
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> OK hab es mal versucht müsste passen das Ergebnis.
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> [mm]\bruch{dh}{dt}=f(y) \gdw \bruch{d\ h(t)}{d\ t}=\bruch{Q_{zu}}{a}-\bruch{h(t)}{R\cdot{}a}[/mm]
>
> umstellen
>
> [mm]\bruch{R\cdot{}a}{R\cdot{}Q_{zu}-h(t)}\ d\ h(t)}=1\ d\ t[/mm]
>
>
> [mm]\integral{\bruch{R\cdot{}a}{R\cdot{}Q_{zu}-h(t)}\ d\ h(t)}=\integral{1\ d\ t}[/mm]
>
>
> [mm]\integral{\bruch{0,785}{0,5-h(t)}}=\integral{1\ d\ t}[/mm]
>
> Substitution [mm]u=0,5-h(t) \Rightarrow \bruch{du}{d h(t)}=-1 \Rightarrow d t(h)=-1 du[/mm]
>
>
> [mm]-0,785\integral{\bruch{1}{u}du}=\integral{1dt}[/mm]
>
> [mm]-0.785*ln(u)=t+C \Rightarrow -0.785*ln(0,5-h)=t+C[/mm]
Hallo!
Ja, das ist so richtig. Sind die Einheiten und exakten Werte nicht wichtig? Falls doch, kommt eigentlich heraus:
[mm]\gdw -\bruch{\pi}{4}*\ln\left(\bruch{1}{2}m - h(t) \right)*s=t+C \quad\quad (C\in\IR)[/mm]
Naja, von Physik hab ich keine Ahnung
Nun musst du wie gesagt nach h(t) umstellen. Dann setzt du die Anfangsbedingung in die Gleichung ein und erhältst C.
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Sa 02.08.2008 | | Autor: | magmaa |
Ja hab ich schon gemacht C=0,54 und wenn ich nach h umstelle kommt das hin mit meiner Simulierten Kurve.
Danke.
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> Ja hab ich schon gemacht C=0,54
Darauf komme ich auch ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Man erhält die Funktion
h(t) = [mm] \bruch{1}{2}-e^{-\bruch{4}{\pi}*(t+C)}
[/mm]
und durch die Gleichung h(0) = 0 die Konstante
[mm]C = \bruch{\pi}{4}*\ln(2)[/mm]
Also insgesamt
h(t) = [mm] \bruch{1}{2}-e^{-\bruch{4}{\pi}*t-\ln(2)}
[/mm]
> und wenn ich nach h
> umstelle kommt das hin mit meiner Simulierten Kurve.
> Danke.
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