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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Bayer04 |
| Aufgabe | Lösen Sie die lineare Wärmeleitungsgleichung
[mm] u_{t}(x,t) [/mm] = [mm] \Delta [/mm] u(x,t)
mit den Randbedingungen
u(0,t) = [mm] u(\pi,t) [/mm] = 0, [mm] t\ge [/mm] 0,
und der Anfangsbedingung
u(x,0)= [mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } 0\le x\le\bruch{\pi}{2} \mbox{ } \\ \pi-x, & \mbox{für } \bruch{\pi}{2} \le x\le \pi \mbox{ } \end{cases} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich hänge seit langer Zeit an dieser Aufgabe und hoffe ihr könnt mir da vielleicht weiterhelfen.
Mein Ansatz:
Ich wähle zuerst den Separationsansatz:
u(x,t) = [mm] \mathcal{X}(x)\mathcal{T}(x)
[/mm]
Nun Anpassen an Wärmeleitungsgleichung:
[mm] u_{t}= \mathcal{X}(x)\mathcal{T'}(x)
[/mm]
[mm] \Delta [/mm] u = [mm] u_{xx} [/mm] = [mm] \mathcal{X''}(x)\mathcal{T}(x)
[/mm]
hier schließt sich gleich meine erste Frage an: Warum leiter der Laplace Operator [mm] \Delta [/mm] nur nach x und nicht nach t ?
[mm] u_{t} [/mm] = [mm] u_{xx}
[/mm]
[mm] \mathcal{X}(x)\mathcal{T'}(x) [/mm] = [mm] \mathcal{X''}(x)\mathcal{T}(x)
[/mm]
--> [mm] \bruch{\mathcal{X''}}{\mathcal{X}}= \bruch{\mathcal{T'}}{\mathcal{T}} [/mm] = [mm] -\lambda [/mm] , [mm] \lambda=const.
[/mm]
Es ergeben sich somit 2 Gleichungen:
(I) [mm] \mathcal{X''}=\lambda\mathcal{X}
[/mm]
(II) [mm] \mathcal{T'}=-\lambda\mathcal{T}
[/mm]
Löse (I) --> [mm] \mathcal{X''}+\lambda\mathcal{X}=0
[/mm]
--> [mm] s_{1,2} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{\lambda}i
[/mm]
Es ergibt sich das FMS : [mm] sin\wurzel{\lambda}x [/mm] ; [mm] cos\wurzel{\lambda}x
[/mm]
cos wird nicht weiterbetrachtet, da es die RB nicht erfüllt.
Analog wird für (II) das selbe getan. Ich erspar euch und mir hier die Rechenschritte.
Letzendlich erhalten wir:
u(x,t) = [mm] \mathcal{X}(x)\mathcal{T}(x)
[/mm]
= [mm] C1C2sin(kx)e^{-k^2t}
[/mm]
u(x,t) = [mm] c_{k} sin(kx)e^{-k^2t}
[/mm]
Mithilfe Anfangsbedingung folgt:
U(x,0)= [mm] c_{k}sin(kx) [/mm] = f(x)
Nun berechnet er in der Musterlösung im nächsten Schritt die konstante C mithilfe der Fourier Reihenentwicklung:
[mm] c_{k} [/mm] = [mm] \bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{f(x) sin(kx) dx}
[/mm]
Hier nochmal eine kurze Frage: warum nimmt er für die Entwicklung den Sinus und nicht Cosinus?
Hängt dies damit zusammen, dass f(x)=x eine punktsymm. Funktion ist?
Hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen.
Danke im Voraus.
LG
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Hallo Bayer04,
> Lösen Sie die lineare Wärmeleitungsgleichung
>
> [mm]u_{t}(x,t)[/mm] = [mm]\Delta[/mm] u(x,t)
>
> mit den Randbedingungen
>
> u(0,t) = [mm]u(\pi,t)[/mm] = 0, [mm]t\ge[/mm] 0,
>
> und der Anfangsbedingung
>
> u(x,0)= [mm]f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } 0\le x\le\bruch{\pi}{2} \mbox{ } \\ \pi-x, & \mbox{für } \bruch{\pi}{2} \le x\le \pi \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Hallo zusammen,
> ich hänge seit langer Zeit an dieser Aufgabe und hoffe
> ihr könnt mir da vielleicht weiterhelfen.
>
> Mein Ansatz:
>
> Ich wähle zuerst den Separationsansatz:
>
> u(x,t) = [mm]\mathcal{X}(x)\mathcal{T}(x)[/mm]
>
> Nun Anpassen an Wärmeleitungsgleichung:
>
> [mm]u_{t}= \mathcal{X}(x)\mathcal{T'}(x)[/mm]
>
> [mm]\Delta[/mm] u = [mm]u_{xx}[/mm] = [mm]\mathcal{X''}(x)\mathcal{T}(x)[/mm]
> hier schließt sich gleich meine erste Frage an: Warum
> leiter der Laplace Operator [mm]\Delta[/mm] nur nach x und nicht
> nach t ?
Daß der Laplace-Operator nur nach einer Dimension ableitet,
ist eine häufig verwendete Vereinfachung.
>
> [mm]u_{t}[/mm] = [mm]u_{xx}[/mm]
>
> [mm]\mathcal{X}(x)\mathcal{T'}(x)[/mm] =
> [mm]\mathcal{X''}(x)\mathcal{T}(x)[/mm]
>
> --> [mm]\bruch{\mathcal{X''}}{\mathcal{X}}= \bruch{\mathcal{T'}}{\mathcal{T}}[/mm]
> = [mm]-\lambda[/mm] , [mm]\lambda=const.[/mm]
>
> Es ergeben sich somit 2 Gleichungen:
>
> (I) [mm]\mathcal{X''}=\lambda\mathcal{X}[/mm]
Diese Gleichung muss doch lauten:
[mm]\mathcal{X''}=\blue{-}\lambda\mathcal{X}[/mm]
> (II) [mm]\mathcal{T'}=-\lambda\mathcal{T}[/mm]
>
> Löse (I) --> [mm]\mathcal{X''}+\lambda\mathcal{X}=0[/mm]
> --> [mm]s_{1,2}[/mm] = [mm]\pm \wurzel{\lambda}i[/mm]
>
> Es ergibt sich das FMS : [mm]sin\wurzel{\lambda}x[/mm] ;
> [mm]cos\wurzel{\lambda}x[/mm]
>
> cos wird nicht weiterbetrachtet, da es die RB nicht
> erfüllt.
>
> Analog wird für (II) das selbe getan. Ich erspar euch und
> mir hier die Rechenschritte.
>
> Letzendlich erhalten wir:
>
> u(x,t) = [mm]\mathcal{X}(x)\mathcal{T}(x)[/mm]
>
> = [mm]C1C2sin(kx)e^{-k^2t}[/mm]
> u(x,t) = [mm]c_{k} sin(kx)e^{-k^2t}[/mm]
>
> Mithilfe Anfangsbedingung folgt:
> U(x,0)= [mm]c_{k}sin(kx)[/mm] = f(x)
>
> Nun berechnet er in der Musterlösung im nächsten Schritt
> die konstante C mithilfe der Fourier Reihenentwicklung:
>
> [mm]c_{k}[/mm] = [mm]\bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{f(x) sin(kx) dx}[/mm]
>
> Hier nochmal eine kurze Frage: warum nimmt er für die
> Entwicklung den Sinus und nicht Cosinus?
> Hängt dies damit zusammen, dass f(x)=x eine punktsymm.
> Funktion ist?
Das hängt damit zusammen, daß die allgemeine Lösungsfunktion
auch so aufgebaut ist.
>
> Hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen.
> Danke im Voraus.
>
> LG
Gruss
MathePower
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