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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Fr 01.08.2008 | | Autor: | zu1u |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrize A:=( 1 2 0 3 )
Wir betrachten das lineare Gleichungssystem Ax = a. Ein LGS ist unloesbar, es hat genau eine Loesung oder es gibt unendlich viele Loesungen. Welche der Faelle sind in genanntem LGS moeglich. |
In meiner Musterloesung hier zu der Aufgabe steht:
Das System Ax=b ist unloesbar, falls Rang(A,b) != Rang(A), es ist loesbar mit unendlich vielen Loesungen, falls Rang(A,b)=Rang(A)<dim(b) und eindeutig loesbar, wenn Rang(A,b) = Rang(A) = n = dim(b), wobei letzteres natuerlich nur bei quadratischen Matrizen moeglich ist.
weiter:
Da Rang(A,a)=Rang(A) = 1 fuer beliebige rechte Seiten a gilt, besitzt es also unendlich viele Loesungen.
Ich habe mir jetzt gedacht das Beispiel schon unendlich viele Loesungen haben kann. Aber das dafuer Rang(A,b)=Rang(A)<dim(b) gelten muss verwirrt mich etwas. Denn wuerde ein a fuer Ax=a nicht eindimensinal sein also dim(a) = Rang(A) = Rang(A,a) ?
Hab ich da vieleicht irgendwie eine Denkfehler?
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Hallo zu1u,
> Gegeben sei die Matrize A:=( 1 2 0 3 )
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> Wir betrachten das lineare Gleichungssystem Ax = a. Ein LGS
> ist unloesbar, es hat genau eine Loesung oder es gibt
> unendlich viele Loesungen. Welche der Faelle sind in
> genanntem LGS moeglich.
> In meiner Musterloesung hier zu der Aufgabe steht:
> Das System Ax=b ist unloesbar, falls Rang(A,b) != Rang(A),
> es ist loesbar mit unendlich vielen Loesungen, falls
> Rang(A,b)=Rang(A)<dim(b) und eindeutig loesbar, wenn
> Rang(A,b) = Rang(A) = n = dim(b), wobei letzteres
> natuerlich nur bei quadratischen Matrizen moeglich ist.
>
> weiter:
> Da Rang(A,a)=Rang(A) = 1 fuer beliebige rechte Seiten a
> gilt, besitzt es also unendlich viele Loesungen.
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> Ich habe mir jetzt gedacht das Beispiel schon unendlich
> viele Loesungen haben kann. Aber das dafuer
> Rang(A,b)=Rang(A)<dim(b) gelten muss verwirrt mich etwas.
> Denn wuerde ein a fuer Ax=a nicht eindimensinal sein also
> dim(a) = Rang(A) = Rang(A,a) ?
Ja.
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> Hab ich da vieleicht irgendwie eine Denkfehler?
>
Vielleicht war das einfach die falsche Argumentation, die da in der Musterlösung steht.
Da der Rang(A)=Rang(A,a)=1 kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten (hier: 4), gibt es unendliche viele Lösungen.
Siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) Lineares Gleichungssystem
Gruß
MathePower
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