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| Aufgabe | Sei $f(t,x) := [mm] \begin{cases} 2t & x\leq 0 \\ 2t - \frac{2x}{t} & 0 < x < t^2, (t,x) \in [-1,1]^2 \\ 0 & t^2 \leq x \end{cases}$
[/mm]
Zeige oder wiederlege: f erfüllt Lipschitz Bedingung bzgl x auf dem Definitionsbereich |
Für den ersten und dritten Fall kann ich meine Lipschitz-konstante $L > 0$ doch beliebeg wählen, weil $ |f(t,x) - f(t,x')| = 0 [mm] \leq [/mm] L | x - x' | $
und beim zweiten Fall:
$ |f(t,x) - f(t,x')| = | 2t - 2x/t - (2t - 2x'/t) | = [mm] \frac{2}{t} [/mm] | x' - x | $
kann mann dann $ L [mm] \geq \frac{2}{t} [/mm] $ wählen oder darf L nicht von t abhängen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:39 Mi 04.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f(t,x) := \begin{cases} 2t & x\leq 0 \\ 2t - \frac{2x}{t} & 0 < x < t^2, (t,x) \in [-1,1]^2 \\ 0 & t^2 \leq x \end{cases}[/mm]
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> Zeige oder wiederlege: f erfüllt Lipschitz Bedingung bzgl
> x auf dem Definitionsbereich
> Für den ersten und dritten Fall kann ich meine
> Lipschitz-konstante [mm]L > 0[/mm] doch beliebeg wählen, weil
> [mm]|f(t,x) - f(t,x')| = 0 \leq L | x - x' |[/mm]
>
> und beim zweiten Fall:
>
> [mm]|f(t,x) - f(t,x')| = | 2t - 2x/t - (2t - 2x'/t) | = \frac{2}{t} | x' - x |[/mm]
>
> kann mann dann [mm]L \geq \frac{2}{t}[/mm] wählen oder darf L nicht
> von t abhängen?
Wir nehmen mal an, f gnüge ener Lipschitzbedingung bezüglich x.
Dann ex. also ein L [mm] \ge [/mm] 0 mit
$|f(t,x)-f(t,x')| [mm] \le [/mm] L|x-x'|$ für alle (t,x) im Def.-Bereich von f.
Dann gilt also
[mm] \frac{2}{t} | x - x'| \le L |x-x'|[/mm] für t [mm] \in [/mm] (0,1] und x,x'>0 mit x,x' < [mm] t^2
[/mm]
Wähle nun [mm] x=t^2/2 [/mm] und [mm] x'=t^2/4, [/mm] so bekommst Du:
[mm] $\frac{2}{t} \le [/mm] L$
und das für alle t [mm] \in [/mm] (0,1] ! Geht das gut ?
FRED
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Nein denn 2/t geht natürlich gegen unendlich für t gegen 0.
Danke!
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aber warum muss ich x und x' so wählen. Reicht es nicht wenn ich schreibe
$ [mm] \frac{2}{t} [/mm] | x - x'| [mm] \leq [/mm] L |x - x'| [mm] \Rightarrow [/mm] L [mm] \geq \frac{2}{t} [/mm] ... $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Mi 04.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> aber warum muss ich x und x' so wählen.
Du musst x und x' nicht so wählen. Du kannst die auch anders wählen, Hauptsache, Du kommst zu einem Widerspruch.
> Reicht es nicht
> wenn ich schreibe
> [mm]\frac{2}{t} | x - x'| \leq L |x - x'| \Rightarrow L \geq \frac{2}{t} ...[/mm]
Von mir aus, wenn Deine Chefs damit zufrieden sind ......
FRED
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Aber wieso muss ich x x' ueberhaupt irgendwie wählen. Es muss doch für alle x x' gelten.
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ok sorry, habs jetzt kapiert :)
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