Lipschitz-stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Mi 25.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Hallo Leute.
Ich frage mich gerade ob die Funktion [mm] $f(x)=\bruch{1}{ln(2+x)}$ [/mm] ist auf dem Definitionsbereich [mm] $D=[0,\infty($ [/mm] L-stetig ist.
Es gilt ja für beliebige $x,y [mm] \in [/mm] D$:
[mm] $|\bruch{1}{ln(2+x)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{ln(2+y)}| \le \bruch{1}{ln(2)}$
[/mm]
Doch kann dies bereits als Lipschitz-Konstante wählen?
Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus.
MfG, Dester
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Huhu,
> Es gilt ja für beliebige [mm]x,y \in D[/mm]:
>
> [mm]|\bruch{1}{ln(2+x)} - \bruch{1}{ln(2+y)}| \le \bruch{1}{ln(2)}[/mm]
>
> Doch kann dies bereits als Lipschitz-Konstante wählen?
allgemein nicht, in diesem Fall jedoch schon.
Allgemein müsstest du ja zeigen, dass
[mm]\left|\bruch{1}{ln(2+x)} - \bruch{1}{ln(2+y)}\right| \le \bruch{1}{ln(2)}\left|x-y\right|[/mm]
was du für einen kleinen Abstand zwischen x und y hier noch nicht gezeigt hast, da dann gilt
[mm] $\bruch{1}{ln(2)}\left|x-y\right| \le \bruch{1}{ln(2)}$ [/mm] und somit für deine Ungleichung zwangsweise eben nicht die Lipschitzstetigkeit daraus folgt.
Für diese Funktion gilt aber $L = [mm] \bruch{1}{2} \bruch{1}{\ln(2)}$ [/mm] als kleinste Lipschitz-Konstante, insofern würde dies für deinen Wert auch gelten 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Mi 25.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Danke für deine Hilfe.
Genau, das |x-y| für y nahe x war mein Knackpunkt.
Allerdings wie kommst du auf dieses kleinste L mit dem zusätzlichen Faktor [mm] \bruch{1}{2}?
[/mm]
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Huhu,
es gilt für differenzierbare Funktionen:
$L = [mm] \sup_{x\in D(f)}|f'(x)| [/mm] = [mm] {||f'||}_\infty$
[/mm]
Der Beweis ist recht einfach (Tip: Definition der Ableitung über Differenzenquotient).
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mi 25.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Danke nochmals,
der Satz ist mir in der Tat nicht bekannt. Allerdings müssen hier doch Bedingungen erfüllt sein (Supremum existiert?), denn nicht jede diff'bare Funktion ist auch L-stetig.
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Nunja,
im Fall $L = [mm] \infty$ [/mm] ist die Funktion einfach nicht Lipschitzstetig, denn dann gibt es kein [mm] $L\in\IR$ [/mm]
Aber die Ungleichung
$|f(x) - f(y)| [mm] \le [/mm] L|x-y|$ gilt dann dennoch 
Aber damit f Lipschitzstetig ist, muss natürlich $L < [mm] \infty$ [/mm] gelten
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mi 25.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Dankeschön nochmal.
Zunächst einmal müsste [mm] L=\bruch{1}{4*ln(2)} [/mm] auch wählbar sein, oder?
Denn [mm] $f'(x)=\bruch{1}{(2+t)*ln(2+t)^2}$ [/mm] und somit [mm] f'(0)=\bruch{1}{4*ln(2)}. [/mm]
Allerdings habe ich dennoch eine weitere Frage.
Es sei nun $ [mm] f(x)=\bruch{1}{ln(2+x)} [/mm] $ wie in der Ausgangsfrage auf $ [mm] D=[0,\infty($.
[/mm]
Nun definiere ich [mm] $g(x)=\wurzel{f(x)}$ [/mm] ebenfalls auf D und will erneut mit deinem Satz untersuchen, ob diese Funktion L-stetig ist. Inuitiv müsste dies der Fall sein.
Also leite ich ab und erhalte [mm] $g'(x)=\bruch{f'(x)}{2*\wurzel{f(x)}}. [/mm] wobei [mm] $f'(x)=\bruch{1}{(2+t)*ln(2+t)^2}$ [/mm] also [mm] g'(x)=\bruch{\wurzel{ln(2+t)}}{2*(2+t)*ln(2+t)^2}.
[/mm]
Dann ist |g'| durch g'(0) beschränkt. Für [mm] $x\to \infty$ [/mm] konvergiert g'(x) gegen Null.
Ist die Argumentation auch so in Ordnung?
Vielen Dank nochmals, Dester
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Mi 25.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Dankeschön nochmal.
>
> Zunächst einmal müsste [mm]L=\bruch{1}{4*ln(2)}[/mm] auch wählbar
> sein, oder?
> Denn [mm]f'(x)=\bruch{1}{(2+t)*ln(2+t)^2}[/mm] und somit
> [mm]f'(0)=\bruch{1}{4*ln(2)}.[/mm]
Ja, sieht gut aus.
> Allerdings habe ich dennoch eine weitere Frage.
> Es sei nun [mm]f(x)=\bruch{1}{ln(2+x)}[/mm] wie in der
> Ausgangsfrage auf [mm]D=[0,\infty([/mm].
> Nun definiere ich [mm]g(x)=\wurzel{f(x)}[/mm] ebenfalls auf D und
> will erneut mit deinem Satz untersuchen, ob diese Funktion
> L-stetig ist. Inuitiv müsste dies der Fall sein.
>
> Also leite ich ab und erhalte
> [mm]$g'(x)=\bruch{f'(x)}{2*\wurzel{f(x)}}.[/mm] wobei
> [mm]$f'(x)=\bruch{1}{(2+t)*ln(2+t)^2}$[/mm] also
> [mm]g'(x)=\bruch{\wurzel{ln(2+t)}}{2*(2+t)*ln(2+t)^2}.[/mm]
Und das ist gleich [mm] $\frac{1}{4 (2 + t) \sqrt{\ln(2 + t)}}$.
[/mm]
> Dann ist |g'| durch g'(0) beschränkt. Für [mm]x\to \infty[/mm]
> konvergiert g'(x) gegen Null.
> Ist die Argumentation auch so in Ordnung?
Ja.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 Mi 25.08.2010 | | Autor: | DesterX |
Danke Felix.
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