Lipschitz-stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Mi 17.01.2007 | | Autor: | Sharik |
| Aufgabe | Zeige, dass die Funktionen
f : [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto x\cdot exp(-x^2) [/mm] und
g: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto x\cdot (1+x^2)^{-1}
[/mm]
gleichmäßig Lipschitz-stetig sind und bestimme optimale Lipschitz-Konstanten f und g. |
Hallo
also ich muss doch erstmal zeigen, dass die erste Ableitung von f und von g jeweils beschränkt ist: d.h. es existiert ein L für alle [mm] x\in \IR [/mm] so das gilt |f'(x)| [mm] \le [/mm] L und |g'(x)| [mm] \le [/mm] L.
f'(x)= [mm] exp(-x^2) [/mm] + [mm] exp(-x^2)\cdot (-2x^2) [/mm] und
g'(x)= [mm] (1-x^2)\cdot (1+x^2)^{-2}
[/mm]
nun weiss ich nicht, wie ich L wählen kann...
ich glaube ich könnte mit der folgenden Ungleichung was erreichen:
|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L|x-y| für alle x,y [mm] \in \IR [/mm] hab jedoch auch hier das Problem welche x,y ich wählen kann, darf, soll???
hat jemand eine Idee?
Danke schon mal für die Mühe...
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Ich geb dir mal den Tipp: L=1
Die Ableitungen sind wirklich beschränkt, zeichne sie dir mal und überlege dann, wie du das Beweisen kannst :)
Gruß,
Gono.
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