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| Aufgabe | Gegeben sei ein Kraftfeld durch:
[mm] F(r)=(\alpha_{1}y^3z^3-6\alpha_{2}xz^2)e_{x}+(2\alpha_{1} xyz^3)e_{y}+(3\alpha_{1}xy^2z^2-6\alpha_{2}z)e_{z}
[/mm]
Ein Massenpunkt werde in diesem Kraftfeld längs des Weges:
0 [mm] \to [/mm] P1(Weg c1) [mm] \to [/mm] P2(Weg c2) [mm] \to [/mm] P (Weg c3) zum Raumpunkt [mm] P3\equiv(x_{0},y_{0},z_{0}) [/mm] verschoben. Geben Sie eine Parametriesierung des Weges an und berechnen Sie damit die beim Verschieben von 0 nach P3 am Massenpunkt geleistete Arbeit. |
Hallo zusammen, zunächst eine eigentlich recht simple Frage:
Wie gehe ich vor, wenn ich eine solche Parametriesierung des Weges angeben will und was bedeutet das genau?
Wäre schön, wenn mir das eben jemand beanworten könnte.
Liebe Grüße
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Hallo!
Arbeit ist Kraft x Weg, oder mathematisch ausgedrückt:
[mm] W=\vec{F}*\vec{s}
[/mm]
Oder als Integral, wenn z.B. die Kraft nicht konstant ist:
[mm] W=\int\vec{F}(s)\,d\vec{s}
[/mm]
Der Weg wird nun auch parametrisiert, wobei man einen freien Parameter benutzt. Im Falle einer Graden z.B.:
[mm] \vec{s}(t)=\vec{x}_0+t*\vec{v}
[/mm]
wobei das t für einen Weg einen bestimmten Wertebereich durchläuft.
Der Sinn ist der, daß du nun eine Substitution weg von dem vektoriellen [mm] d\vec{s} [/mm] zum skalaren t machen kannst:
[mm] \frac{d\vec{s}}{dt}=\vec{s}'(t)=\vec{v}
[/mm]
[mm] d\vec{s}=\vec{v}*dt
[/mm]
Und damit:
[mm] W=\int\left(\vec{F}(s(t))*\vec{v}\right)\,dt
[/mm]
Integriert wird hier nun über den Wertebereich von t, das ist ein ganz normales Integral.
Jetzt kannst du mal überlegen, welche Vereinfachungen sich ergeben, wenn der Weg parallel zu einer Koordinatenachse liegt, und wenn der Wertebereich von t genauso "lang" wie die Strecke ist.
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