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Hallo,
ich bin noch sehr unsicher bei Aufgabenstellungen, bei denen es heißt, ob meine ABbildung linear ist.
Ich habe zum einen die Bedingungen aufgeschrieben, die für einen Unterraum gelten müssen. Aber mir scheint, als ob diese Bedingungen auf für eine lineare ABbildung gelten. Kann mir den Zusammenhang jemand erläutern?
a) die Abbildung ist linear (einfache Potenzen und keine Multiplikation)
b) sie muss homogen sein (keine Konstante)
c) der Nullvektor muss enthalten sein
d) Abgeschlossenheit bezüglich der Addition oder Multiplikation zeigen (wobei ich nicht ganz verstehe, was das heißen soll)
ANDERERSEITS habe ich folgende Formel für den Beweis einer Linearität:
[mm] \varphi (\lambda *v_1+v_2)=\lambda *\varphi (v_1)+ \varphi (v_2)
[/mm]
und: Der Nullvektor muss enthalten sein.
Ich verstehe aber nun nicht welche Gedanken ich mir machen muss, wenn ich eine lineare Abbildung auf Linearität untersuchen soll. Ich habe wie oben diese a-d, aber ich weiß nicht, ob diese wirklich auch etwas mit der Linearität zu zu tun haben.
Und mit der Formel komme ich auch nicht wirklich klar, denn für mich steht auf beiden Seiten exakt das gleiche. :(
Ich gebe mal ein Beispiel, vielleicht kann mir das jemand an diesem erklären?
[mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{pmatrix} 3x+4 \\ x+y+z \\ y \end{pmatrix}
[/mm]
Hier kann ich im Grunde gleich aufhören zu rechnen, da meine Abbildung nicht homogen ist, wegen der Konstanten 4, oder?
[mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ y \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Wie gehe ich hier vor?
und:
[mm] \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{pmatrix} x^2 \\ x*y \end{pmatrix}
[/mm]
Hier habe ich auch keinen blassen Schimmer. Ich hätte aufgrund der Potenz schon gesagt, ist nicht linear, aber dafür müsste ich erstmal wissen, ob die die Punkte a-d auch hier anwenden darf.
Bitte helft mir :(
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> Hallo,
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> ich bin noch sehr unsicher bei Aufgabenstellungen, bei
> denen es heißt, ob meine ABbildung linear ist.
Hallo,
ich finde, daß man sich die Linearität so am besten prüfen und sich merken kann:
Sei f: [mm] V\o [/mm] W
f ist linear, wenn
für alle Vektoren [mm] v_1,v_2 \in [/mm] V und für alle [mm] \lambda \in \IR [/mm] gilt:
1. [mm] f(v_1 [/mm] + [mm] v_2)=f(v_1)+f(v_2)
[/mm]
2. [mm] f(\lambda v_1)=\lambda f(v_2).
[/mm]
Ein Folge der 2. bedingung ist, daß der Nullvektor auf den Nullvektor abgebildet werden muß, was man meist schnell sehen kann.
Sobald das nicht der Fall ist, kann man seine Bemühungen einstellen.
> Ich habe zum einen die Bedingungen aufgeschrieben, die für
> einen Unterraum gelten müssen.
Du scheinst nahe daran zu sein, "Unterraum" und "lineare Abbildung" zu verwechseln.
Wir sprechen gerade über lineare Abbildungen.
> ANDERERSEITS habe ich folgende Formel für den Beweis einer
> Linearität:
>
> [mm]\varphi (\lambda *v_1+v_2)=\lambda *\varphi (v_1)+ \varphi (v_2)[/mm]
>
> und: Der Nullvektor muss enthalten sein.
Das, was ich Dir oben aufgeschrieben habe, zeigt sich meist bequemer.
> Und mit der Formel komme ich auch nicht wirklich klar, denn
> für mich steht auf beiden Seiten exakt das gleiche. :(
Das ist der Witz: das ist nur bei linearen Abildungen gleich. Wir werden es sofort sehen.
>
> Ich gebe mal ein Beispiel, vielleicht kann mir das jemand
> an diesem erklären?
>
> [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/mm] ->
> [mm]\begin{pmatrix} 3x+4 \\ x+y+z \\ y \end{pmatrix}[/mm]
> Hier kann
> ich im Grunde gleich aufhören zu rechnen, da meine
> Abbildung nicht homogen ist, wegen der Konstanten 4, oder?
Ja, oder Du schaust, ob der Vektor [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] auf den Vektor [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] abgebilset wird. das ist hier nicht der Fall: [mm] f(\vektor{0\\0\\0} )=]\begin{pmatrix} 3*0+4 \\ 0+0+0\\ 0\end{pmatrix}=\vektor{4\\0\\0}.
[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/mm] ->
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ y \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Wie gehe ich hier vor?
Ein kurzer Blick sagt, daß die Null auf die Null abgebildet wird, also könnte (!) es sein, daß die Abbildung linear ist.
1. Addition:
Sei [mm] v_1:=\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}, v_2:=\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}.
[/mm]
Es ist [mm] f(v_1+v_2)= f(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix})=f(\begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_2+y_2 \\ z_1+z_2 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] =\begin{pmatrix} 0 \\ y_1+y_2 \\ 0 \end{pmatrix}, [/mm]
und es ist [mm] f(v_1)+f(v_2)=f(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix})+f(\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ y_1 \\ 0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 \\ y_2 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ y_1+y_2 \\ 0 \end{pmatrix}.
[/mm]
Also ist [mm] f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2).
[/mm]
2. Multiplikation mit Skalaren:
Versuch das jetzt mal selbst. Berechne [mm] f(\lambda v_1) [/mm] und [mm] \lambda f(v_1) [/mm] und vergleiche.
>
> und:
>
> [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}[/mm] -> [mm]\begin{pmatrix} x^2 \\ x*y \end{pmatrix}[/mm]
Hier wird die Null auf die Null abgebildet.
Aber bei der Addition wird offenbar, daß das nicht linear ist.
Rechne mal wie oben.
Mach denn ein Gegenbeispiel.
Daß die Funktion nicht linear ist, erkennst Du daran, daß Potenzen der Variablen vorkommen ud Variable multipliziert werden.
Gruß v. Angela
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> Hier habe ich auch keinen blassen Schimmer. Ich hätte
> aufgrund der Potenz schon gesagt, ist nicht linear, aber
> dafür müsste ich erstmal wissen, ob die die Punkte a-d auch
> hier anwenden darf.
>
> Bitte helft mir :(
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Also gelten ja irgendwie doch die von mir beschriebenen Regeln für den Unterraum. Du sagtest ja, der Nullvektor muss abgebildet werden, es dürfen keine Konstante vorhanden sein und keine Potenzen. Das sagt doch auch das aus, was ich zu Unterräumen gesagt habe, oder?
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> Also gelten ja irgendwie doch die von mir beschriebenen
> Regeln für den Unterraum. Du sagtest ja, der Nullvektor
> muss abgebildet werden, es dürfen keine Konstante vorhanden
> sein und keine Potenzen. Das sagt doch auch das aus, was
> ich zu Unterräumen gesagt habe, oder?
Hallo,
verwechsele nicht die Linearitätsbedingungen mit den Unterraumkriterien.
Bei dem einen geht es um die Eigenchaft einer Funktion,
und beim Unterraum geht es darum, daß eineTeilmenge eines Vektorraumes wieder ein Vektorraum ist.
Natürlich gibt es gewisse Verbindungen, auf die Gründe gehe ich nicht ein, aber das sind zwei verschiedene Dinge.
U ist Unteraum eines VRes V :
1. U ist nichtleer, insbes. ist die Null drin
2. für alls [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 \in [/mm] U folgt [mm] u_1+u_2\in [/mm] U
3. für alle [mm] u_1\in [/mm] U und [mm] \lambda\in \IR [/mm] folgt [mm] \lambda u_1\in [/mm] U.
Man kann es sich gut paralel zu den Linearitätsbedingungen merken, aber es ist etwas anderes.
Gruß v. Angela
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Ist als 2. Bedingung:
[mm] \lambda [/mm] f(x)=f( [mm] \lambda [/mm] x) das gleiche wie deine Ausführung? Ich hab das Gefühl du hast dich vertan, oder doch nicht?
Denn dann hätte ich bei der Aufgabe
[mm] \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ x_1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ \lambda x_1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Aber mit deiner Formel nicht.
und
> U ist Unteraum eines VRes V :
>
> 1. U ist nichtleer, insbes. ist die Null drin
> 2. für alls [mm]u_1[/mm] und [mm]u_2 \in[/mm] U folgt [mm]u_1+u_2\in[/mm] U
> 3. für alle [mm]u_1\in[/mm] U und [mm]\lambda\in \IR[/mm] folgt [mm]\lambda u_1\in[/mm]
> U.
Wie sähe das dann hierbei aus:
V={x,y | [mm] y=x^3 [/mm] }
Dies ist nicht homogen, also kein Unterraum, aber ich muss trotzdem noch ein Gegenbeispiel finden?
Dann müsste ich wohl auf deine 2. und 3. Bedingung eingehen, aber wie würde ich das hier zeigen? Okay, der Nullvektor ist enthalten, also könnte ich aufhören, aber reicht das? Und angenommen nicht, wie zeige ich dann deine 2. und 3. Bedingung?
Oder vielleicht wird es hier deutlicher:
Wir sind im [mm] R^3 [/mm] und haben [mm] v_1=(1,2,0)^t [/mm] und [mm] v_2=(1,0,1)^t
[/mm]
Wir zeige ich nun, dass dies ein Unterraum ist?
Wir haben geschrieben
U= [mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] v_2 [/mm] und V= [mm] \mu_1 [/mm] * [mm] v_1 [/mm] + [mm] \mu_2 [/mm] * [mm] v_1
[/mm]
Und haben gesagt, dass U [mm] \not= R^3[/mm]
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> Ist als 2. Bedingung:
>
> [mm]\lambda[/mm] f(x)=f( [mm]\lambda[/mm] x) das gleiche wie deine
> Ausführung? Ich hab das Gefühl du hast dich vertan, oder
> doch nicht?
Hallo,
ich hatte das f leider vergessen, gut, daß Du Dich dadurch nicht hast verwirren lassn.
>
> Denn dann hätte ich bei der Aufgabe
>
> [mm]\lambda \begin{pmatrix} 0 \\ x_1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ \lambda x_1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Aber mit deiner Formel nicht.
>
> und
>
>
> > U ist Unteraum eines VRes V :
> >
> > 1. U ist nichtleer, insbes. ist die Null drin
> > 2. für alls [mm]u_1[/mm] und [mm]u_2 \in[/mm] U folgt [mm]u_1+u_2\in[/mm] U
> > 3. für alle [mm]u_1\in[/mm] U und [mm]\lambda\in \IR[/mm] folgt [mm]\lambda u_1\in[/mm]
> > U.
>
> Wie sähe das dann hierbei aus:
>
> [mm] V=\{x,y | y=x^3 \}
[/mm]
Wir haben hier eine Teilmenge des [mm] \IR^2, [/mm] welche die Vektoren enthält, bei denen die zweite Komponente die erste hoch drei ist.
Es sind z.B. [mm] \vektor{0\\0}, \vektor{5\\125} [/mm] und [mm] \vektor{-2\\-8} [/mm] in der Menge.
>
> Dies ist nicht homogen,
Über Homogenität kann man nur bei Abbildungen reden, oder? Hier gibt's keine Abbildung, sondern eine Menge von Vektoren.
Widerlegen tut man am besten immer mit einem Gegenbeispiel. Das überzeugt.
Es ist [mm] v:=\vektor{1\\1} \in [/mm] V, jedoch ist [mm] 2*v=\vektor{\red{2}\\\blue{2}} [/mm] nicht in V, denn [mm] red{2}^3\not=\blue{2}.
[/mm]
Also ist V kein Unterraum des [mm] \IR^2.
[/mm]
> also kein Unterraum, aber ich muss
> trotzdem noch ein Gegenbeispiel finden?
>
> Dann müsste ich wohl auf deine 2. und 3. Bedingung
> eingehen, aber wie würde ich das hier zeigen? Okay, der
> Nullvektor ist enthalten, also könnte ich aufhören, aber
> reicht das? Und angenommen nicht, wie zeige ich dann deine
> 2. und 3. Bedingung?
>
> Oder vielleicht wird es hier deutlicher:
> Wir sind im [mm]R^3[/mm] und haben [mm]v_1=(1,2,0)^t[/mm] und [mm]v_2=(1,0,1)^t[/mm]
>
> Wir zeige ich nun, dass dies ein Unterraum ist?
Die menge, die aus [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] besteht ist kein Unterraum.
Ein Unterraum ist die von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] erzeugte Menge, die Menge [mm] U:=\{\lambda_1 *v_1 + \lambda_2* v_2 | \lambda_i \in \IR\}, [/mm] also die Menge aller Linearkombinationen, die man aus [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] bilden kann.
> Wir haben geschrieben
>
> U= [mm]\lambda_1[/mm] * [mm]v_1[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] * [mm]v_2[/mm] und V= [mm]\mu_1[/mm] * [mm]v_1[/mm] +
> [mm]\mu_2[/mm] * [mm]v_1[/mm]
>
> Und haben gesagt, dass U [mm]\not= R^3[/mm]
Ich weiß nicht genau, was Ihr hier getrieben habt. Da müßte erstmal geklärt werden, was die Aufgabe war.
Ich kann mir nicht recht einen Reim drauf machen.
Wolltet Ihr vielleicht zeigen, daß U [mm] \not= \IR^3?
[/mm]
Das ist ja kein Wunder: die Dimension des [mm] \IR^3 [/mm] ist 3, also muß ein Erzeugendensystem mindestens drei Elemente haben.
Gruß v. Angela
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> [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}[/mm] -> [mm]\begin{pmatrix} x^2 \\ x*y \end{pmatrix}[/mm]
Zerstört eigentlich hier nicht neben dem [mm] x^2 [/mm] auch das x*y die Linearität? Ich habe gelesen, dass eine nicht-lineare Fun´ktion auch nicht linear sein kann, also wenn multipliziert wird.
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> > [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}[/mm] -> [mm]\begin{pmatrix} x^2 \\ x*y \end{pmatrix}[/mm]
>
> Zerstört eigentlich hier nicht neben dem [mm]x^2[/mm] auch das x*y
> die Linearität? Ich habe gelesen, dass eine nicht-lineare
> Fun´ktion auch nicht linear sein kann, also wenn
> multipliziert wird.
Hallo,
Du redest von der Abbildung
[mm] f:\IR^2\to \IR^2 [/mm] mit
[mm] f(\vektor{x\\y}):=\vektor{x^2\\xy} [/mm] ?
Ja, wie ich zuvor schrieb: Potenzen von Variablen sowie miteinander multiplizierte Variablen zerstören die Linearität.
Beweisen tust Du es, indem Du an einem Zahlenbeispiel vorrechnest, daß die Funktion nicht linear ist.
Wenn Du das mit den Potenzen und multiplizierten variablen also weißt, weißt Du, daß Du Dich sofort auf die Suche nach einem Gegenbeispiel machen kannst.
Gruß v. Angela
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> Du redest von der Abbildung
>
> [mm]f:\IR^2\to \IR^2[/mm] mit
>
> [mm]f(\vektor{x\\y}):=\vektor{x^2\\xy}[/mm] ?
>
> Ja, wie ich zuvor schrieb: Potenzen von Variablen sowie
> miteinander multiplizierte Variablen zerstören die
> Linearität.
>
> Beweisen tust Du es, indem Du an einem Zahlenbeispiel
> vorrechnest, daß die Funktion nicht linear ist.
Was wäre dann ein Zahlenbeispiel, das die Behauptung, dass es nicht linear ist, noch verdeutlich? Wenn ich für x und y 2 oder 3 einsetze, habe ich ja rechts auch immer das gleiche stehen. Oder wie ist das gemeint?
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Bedingungen für Linearität