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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:58 Di 01.11.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Für $y [mm] \in \IK^\IN$ [/mm] betrachte die Linearform [mm] $\varphi_y: c_{00} \to \IK$ [/mm] definiert durch: [mm] $\varphi_y(x) [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^\infty y_k x_k$
[/mm]
Man zeige:
(a) [mm] $\{\varphi: c_{00} \to \IK \;|\; \varphi$ ist linear$\} [/mm] = [mm] \{\varphi_y \;|\; y \in \IK^\IN\}$
[/mm]
(b) [mm] $\varphi_y$ [/mm] ist genau für $y [mm] \in \ell^1$ [/mm] stetig (bzgl. [mm] $||\;\cdot\;||_\infty$).
[/mm]
(c) Für $y [mm] \in \ell^1$ [/mm] lässt sich [mm] $\varphi_y$ [/mm] eindeutig stetig auf [mm] $c_0$ [/mm] forsetzen.
(d) [mm] $\{\varphi: c_0 \to \IK \;|\; \varphi$ ist linear und stetig$\} [/mm] = [mm] \{\varphi_y \;|\; y \in \ell^1\}$.
[/mm]
Dabei ist [mm] $c_{00}$ [/mm] der Raum der abbrechenden Folgen, [mm] $c_0$ [/mm] der Raum der Nullfolgen. |
Hallo,
ich habe bei der Aufgabe insbesondere in der (a) und (d) Probleme die Inklusion [mm] "$\subset$" [/mm] zu zeigen, aber auch beim Rest bin ich mir nicht sehr sicher.
(a) [mm] "$\supset$" [/mm] Sei [mm] $\varphi_y$ [/mm] von obiger Form mit $y [mm] \in \IK^\IN$
[/mm]
Seien $x, z [mm] \in c_{00}, [/mm] a [mm] \in \IK \Rightarrow \varphi_y(ax+z) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} y_k(ax_k+z_k) [/mm] = [mm] a\summe_{k=1}^{\infty}y_kx_k [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty}y_kz_k [/mm] = a [mm] \varphi_y(x)+\varphi(z)$.
[/mm]
Da $x, z [mm] \in c_{00}$ [/mm] sind die Summen in der Rechnung nur endlich und das Umordnen stellt somit kein Problem dar.
Große Probleme habe ich bei der anderen Richtung:
Sei [mm] $\varphi:c_{00} \to \IK$ [/mm] linear. Ich weiß leider nicht, wie ich nun weiter machen soll.
(b)Sei zunächst $y [mm] \in \ell^1$.
[/mm]
Betrachte [mm] $\varphi_y^{-1}(0)$. [/mm] Wenn diese Menge abgeschlossen ist, so ist [mm] $\varphi_y$ [/mm] stetig.
Sei also [mm] $(x_n) \subset \varphi_y^{-1}(0)$ [/mm] eine konvergente Folge [mm] $\Rightarrow$ [/mm] da [mm] $c_0$ [/mm] abgeschlossen ist und [mm] $c_{00} \subset c_0$ [/mm] existiert $x [mm] \in c_0$ [/mm] mit [mm] $x_n \to [/mm] x$.
zz.: $x [mm] \in \varphi_y^{-1}(0)$
[/mm]
Es gilt [mm] $||x_n -x||_\infty \to [/mm] 0 [mm] \;(n \to \infty) \Rightarrow \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \;\exists N_\varepsilon \in \IN\;\forall [/mm] n [mm] \geq N_\varepsilon: \sup_{k \in \IN} |x_n_k [/mm] - [mm] x_k| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Das heißt auch dass [mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \;\exists N_\varepsilon \in \IN\;\forall [/mm] n [mm] \geq \N_\varepsilon: |\summe_{k = 1}^\infty y_k x_k| [/mm] = [mm] |\summe_{k = 1}^\infty y_k(x_k [/mm] - [mm] x_n_k [/mm] + [mm] x_n_k)| [/mm] = [mm] |\summe_{k = 1}^\infty y_k(x_k [/mm] - [mm] x_n_k) [/mm] + [mm] \summe_{k = 1}^\infty y_k x_n_k| [/mm] = [mm] |\summe_{k = 1}^\infty y_k(x_k [/mm] - [mm] x_n_k)| \leq \summe_{k = 1}^\infty |y_k||x_k [/mm] - [mm] x_n_k| [/mm] > [mm] \summe_{k = 1}^\infty |y_k| \varepsilon$
[/mm]
Da $y [mm] \in \ell^1$, [/mm] d.h. [mm] $\summe_{k = 1}^\infty |y_k| [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] heißt das, dass $x [mm] \in \varphi_y^{-1}(0)$, [/mm] da [mm] $|\varphi_y(x)|$ [/mm] kleiner als jedes beliebige [mm] $\varepsilon$ [/mm] wird.
Bleibt zz.: $y [mm] \not\in \ell^1 \Rightarrow \varphi_y$ [/mm] nicht stetig:
Sei also $y [mm] \not\in \ell^1$, [/mm] d.h. [mm] $\summe_{k=1}^\infty |y_k| [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
Betrachte die folgende Folge in [mm] $c_{00}: x_1 [/mm] = [mm] (-y_2, y_1, [/mm] 0, [mm] \ldots), x_2 [/mm] = [mm] (-y_2, y_1, -y_4, y_3,0, \ldots), \ldots$. [/mm] Damit ist [mm] $x_n \in \varphi_y^{-1}(0) \;\forall [/mm] n$ aber [mm] $\lim_{n \to \infty} x_n \not\in \ell^1$, [/mm] also insbesondere nicht in [mm] $c_{00}$, [/mm] also auch nicht in [mm] $\varphi_y^{-1}(0)$.
[/mm]
Insbesondere bei diesem zweiten Teil von (b) bin ich mir sehr unsicher. Stimmt das so?
(c) Es liegt [mm] $c_{00}$ [/mm] dicht in [mm] $c_0$ [/mm] (Ergebnis von einem früheren Aufgabenblatt). Es genügt zu zeigen, dass [mm] $\varphi_y$ [/mm] gleichmäßig stetig ist, dann folgt die stetige Fortsetzbarkeit auf den Rand (auch Ergebnis auf einem früheren Blatt).
Sei also [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$. Definiere [mm] $\delta [/mm] := [mm] \frac{\varepsilon}{||y||_1}$ [/mm] für $y [mm] \not=0$, [/mm] für $y = 0$ ist die Aussage klar, da [mm] $\varphi_y$ [/mm] dann identisch $0$ ist.
Seien nun $x, z [mm] \in c_{00}$ [/mm] mit $ [mm] ||x-z||_\infty \leq \delta \Rightarrow |\varphi_y(x)-\varphi_y(z)| [/mm] = [mm] |\varphi_y(x-z)| [/mm] = [mm] |\summe_{k=1}^\infty y_k(x_k-z_k)| \leq \summe_{k=1}^\infty |y_k|\;|(x_k-z_k)| \leq \summe_{k=1}^\infty |y_k|\;||x-z||_\infty \leq ||y||_1 \delta [/mm] = [mm] \varepsilon \Rightarrow \varphi_y$ [/mm] glm. stetig.
Somit folgt die Behauptung.
(d) Die Inklusion [mm] "$\supset$" [/mm] folgt im Grunde aus (a) bis (c). Bei der Rückrichtung bin ich leider wieder ziemlich ratlos. Weiß jemand weiter?
Vielen Dank für eure Hilfe!
LG Lippel
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> Für [mm]y \in \IK^\IN[/mm] betrachte die Linearform [mm]\varphi_y: c_{00} \to \IK[/mm]
> definiert durch: [mm]\varphi_y(x) := \summe_{k=1}^\infty y_k x_k[/mm]
>
> Man zeige:
> (a) [mm]\{\varphi: c_{00} \to \IK \;|\; \varphi[/mm] ist linear[mm]\} = \{\varphi_y \;|\; y \in \IK^\IN\}[/mm]
>
> (b) [mm]\varphi_y[/mm] ist genau für [mm]y \in \ell^1[/mm] stetig (bzgl.
> [mm]||\;\cdot\;||_\infty[/mm]).
> (c) Für [mm]y \in \ell^1[/mm] lässt sich [mm]\varphi_y[/mm] eindeutig
> stetig auf [mm]c_0[/mm] forsetzen.
> (d) [mm]\{\varphi: c_0 \to \IK \;|\; \varphi[/mm] ist linear und
> stetig[mm]\} = \{\varphi_y \;|\; y \in \ell^1\}[/mm].
>
> Dabei ist [mm]c_{00}[/mm] der Raum der abbrechenden Folgen, [mm]c_0[/mm] der
> Raum der Nullfolgen.
> Hallo,
>
> ich habe bei der Aufgabe insbesondere in der (a) und (d)
> Probleme die Inklusion "[mm]\subset[/mm]" zu zeigen, aber auch beim
> Rest bin ich mir nicht sehr sicher.
>
> (a) "[mm]\supset[/mm]" Sei [mm]\varphi_y[/mm] von obiger Form mit [mm]y \in \IK^\IN[/mm]
>
> Seien [mm]x, z \in c_{00}, a \in \IK \Rightarrow \varphi_y(ax+z) = \summe_{k=1}^{\infty} y_k(ax_k+z_k) = a\summe_{k=1}^{\infty}y_kx_k + \summe_{k=1}^{\infty}y_kz_k = a \varphi_y(x)+\varphi(z)[/mm].
>
> Da [mm]x, z \in c_{00}[/mm] sind die Summen in der Rechnung nur
> endlich und das Umordnen stellt somit kein Problem dar.
> Große Probleme habe ich bei der anderen Richtung:
> Sei [mm]\varphi:c_{00} \to \IK[/mm] linear. Ich weiß leider nicht,
> wie ich nun weiter machen soll.
Zu einer linearen Abbildung [mm] \varphi: c_{00} \to \IK [/mm] kannst du dir ein y [mm] \in \IK^\IN [/mm] konstruieren, indem die die "Einheitsvektoren" [mm] e_k\in c_{00} [/mm] betrachtest, die an der k-ten Stelle eine 1 und sonst nur Nullen haben.
Damit setze [mm] y_k=\varphi(e_k). [/mm] Aufgrund der Linearität erhältst du [mm] \varphi [/mm] = [mm] \varphi_y
[/mm]
>
> (b)Sei zunächst [mm]y \in \ell^1[/mm].
> Betrachte
> [mm]\varphi_y^{-1}(0)[/mm]. Wenn diese Menge abgeschlossen ist, so
> ist [mm]\varphi_y[/mm] stetig.
> Sei also [mm](x_n) \subset \varphi_y^{-1}(0)[/mm] eine konvergente
> Folge [mm]\Rightarrow[/mm] da [mm]c_0[/mm] abgeschlossen ist und [mm]c_{00} \subset c_0[/mm]
> existiert [mm]x \in c_0[/mm] mit [mm]x_n \to x[/mm].
> zz.: [mm]x \in \varphi_y^{-1}(0)[/mm]
>
> Es gilt [mm]||x_n -x||_\infty \to 0 \;(n \to \infty) \Rightarrow \forall \varepsilon > 0 \;\exists N_\varepsilon \in \IN\;\forall n \geq N_\varepsilon: \sup_{k \in \IN} |x_n_k - x_k| < \varepsilon[/mm]
>
> Das heißt auch dass [mm]\forall \varepsilon > 0 \;\exists N_\varepsilon \in \IN\;\forall n \geq \N_\varepsilon: |\summe_{k = 1}^\infty y_k x_k| = |\summe_{k = 1}^\infty y_k(x_k - x_n_k + x_n_k)| = |\summe_{k = 1}^\infty y_k(x_k - x_n_k) + \summe_{k = 1}^\infty y_k x_n_k| = |\summe_{k = 1}^\infty y_k(x_k - x_n_k)| \leq \summe_{k = 1}^\infty |y_k||x_k - x_n_k| > \summe_{k = 1}^\infty |y_k| \varepsilon[/mm]
>
> Da [mm]y \in \ell^1[/mm], d.h. [mm]\summe_{k = 1}^\infty |y_k| < \infty[/mm]
> heißt das, dass [mm]x \in \varphi_y^{-1}(0)[/mm], da [mm]|\varphi_y(x)|[/mm]
> kleiner als jedes beliebige [mm]\varepsilon[/mm] wird.
>
> Bleibt zz.: [mm]y \not\in \ell^1 \Rightarrow \varphi_y[/mm] nicht
> stetig:
> Sei also [mm]y \not\in \ell^1[/mm], d.h. [mm]\summe_{k=1}^\infty |y_k| = \infty[/mm]
>
> Betrachte die folgende Folge in [mm]c_{00}: x_1 = (-y_2, y_1, 0, \ldots), x_2 = (-y_2, y_1, -y_4, y_3,0, \ldots), \ldots[/mm].
> Damit ist [mm]x_n \in \varphi_y^{-1}(0) \;\forall n[/mm] aber
> [mm]\lim_{n \to \infty} x_n \not\in \ell^1[/mm], also insbesondere
> nicht in [mm]c_{00}[/mm], also auch nicht in [mm]\varphi_y^{-1}(0)[/mm].
>
> Insbesondere bei diesem zweiten Teil von (b) bin ich mir
> sehr unsicher. Stimmt das so?
>
> (c) Es liegt [mm]c_{00}[/mm] dicht in [mm]c_0[/mm] (Ergebnis von einem
> früheren Aufgabenblatt). Es genügt zu zeigen, dass
> [mm]\varphi_y[/mm] gleichmäßig stetig ist, dann folgt die stetige
> Fortsetzbarkeit auf den Rand (auch Ergebnis auf einem
> früheren Blatt).
>
> Sei also [mm]\varepsilon > 0[/mm]. Definiere [mm]\delta := \frac{\varepsilon}{||y||_1}[/mm]
> für [mm]y \not=0[/mm], für [mm]y = 0[/mm] ist die Aussage klar, da
> [mm]\varphi_y[/mm] dann identisch [mm]0[/mm] ist.
> Seien nun [mm]x, z \in c_{00}[/mm] mit [mm]||x-z||_\infty \leq \delta \Rightarrow |\varphi_y(x)-\varphi_y(z)| = |\varphi_y(x-z)| = |\summe_{k=1}^\infty y_k(x_k-z_k)| \leq \summe_{k=1}^\infty |y_k|\;|(x_k-z_k)| \leq \summe_{k=1}^\infty |y_k|\;||x-z||_\infty \leq ||y||_1 \delta = \varepsilon \Rightarrow \varphi_y[/mm]
> glm. stetig.
> Somit folgt die Behauptung.
>
> (d) Die Inklusion "[mm]\supset[/mm]" folgt im Grunde aus (a) bis
> (c).
Das stimmt.
> Bei der Rückrichtung bin ich leider wieder ziemlich
> ratlos. Weiß jemand weiter?
Zu gegebenem [mm] \varphi [/mm] betrachte die Einschränkung auf [mm] c_{00}.
[/mm]
Nach (a) und (b) gibt es ein [mm] y\in\ell^1 [/mm] mit [mm] \varphi [/mm] = [mm] \varphi_y [/mm] auf [mm] c_{00}. [/mm]
Wegen der Eindeutigkeit der stetigen Fortsetzung muss [mm] \varphi [/mm] auf ganz [mm] c_0 [/mm] mit [mm] \varphi_y [/mm] übereinstimmen.
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> Vielen Dank für eure Hilfe!
>
> LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Lippel |
Danke, das hat sehr geholfen.
LG Lippel
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