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| Aufgabe | Beschreiben Sie das Lösungsverhalten nachstehender LGS abhangig von den auftretenden Konstanten und geben Sie die Lösungen ggf. an.
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] + [mm] x_{4} [/mm] = 1
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 3x_{3} [/mm] + [mm] 4x_{4} [/mm] = 5
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] + [mm] 5x_{3} [/mm] + [mm] 7x_{4} [/mm] = a
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 4x_{2} [/mm] + [mm] 7x_{3} [/mm] + [mm] 10x_{4} [/mm] = b |
Hallo ich habe dieses LGS mittels Gaußverfahren auf die Form
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \parallel 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \parallel 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \parallel a-9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \parallel b-13 } [/mm]
gebracht. Hieraus folgt das es unendlich viele Lösungen gibt, wenn a = 9 [mm] \wedge [/mm] b=13 ist.
Nun muss ich jedoch noch den Lösungsraum angeben und weiß nicht wie ich das machen soll.
Der Lösungsraum Lös{A,b} sollte: [mm] \vektor{-3 \\ 4 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \IR \vektor{1 \\ -2 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \IR \vektor{2 \\ -3 \\ 0 \\ 1} [/mm] sein...
Den ersten Vektor komme ich auch noch wenn ich das System ganz normal mit [mm] x_{3} [/mm] und [mm] x_{4} [/mm] = 0 auflöse... aber die anderen beiden Vektoren bekomme ich einfach nicht heraus.
Ich dachte mir zuerst, dass man für [mm] x_{3} [/mm] = 1 und [mm] x_{4} [/mm] = 0 einsetzt und für den anderen Vektor [mm] x_{3} [/mm] = 0 und [mm] x_{4} [/mm] = 1, aber dann bekomme ich ganz andere Vektoren heraus :(
Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:57 Fr 21.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
du hattest:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \parallel 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \parallel 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \parallel a-9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \parallel b-13 }[/mm]
damit mit a = 9 und b=13:
[mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \parallel 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \parallel 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \parallel 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \parallel 0 }[/mm]
Ziehe nochmal die zweite und von der ersten Zeile ab, um auf spezielle Zeilenstufenform zu kommen, d.h. oberhalb der Pivots steht nur 0:
[mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 & -2 \parallel -3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \parallel 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \parallel 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \parallel 0 }[/mm]
Dann steht in der letzten Spalte wirklich der spezielle Lösungsvektor. Die anderen beiden stehen quasi auch schon da, man streicht die Nullzeilen und fügt Zeilen ein, sodass an den Stellen der fehlenden Pivotelemente -1 steht:
[mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 & -2 \parallel -3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \parallel 4 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \parallel 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \parallel 0 }[/mm]
Dann stehen in den Spalten, in denen -1 eingefügt wurde, also hier der 3. und 4., die anderen beiden gesuchten Vektoren (noch mit -1 multipliziert, aber das ist ja egal, wie du hoffentlich weißt).
> Der Lösungsraum Lös{A,b} sollte: [mm]\vektor{-3 \\ 4 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> + [mm]\IR \vektor{1 \\ -2 \\ 1 \\ 0}[/mm] + [mm]\IR \vektor{2 \\ -3 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> sein...
LG Lippel
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