Lineares Gleichungssystem < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:59 Do 23.09.2010 | | Autor: | Eduart |
Hallo,
ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe.
Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:
0 1 1; x 0
0 1 1; y = 0
0 3 3; z 0
Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
a) Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung.
b) Das Gleichungssystem besitzt die eindeutige Lösung x=y=z=2
c) Das Gleichungssystem besitzt eine eindeutige Lösung
d) Das Gleichungssystem besitzt die eindeutige Lösung x=y=z=0
e) Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen
Das Problem ist, dass ich überhaupt keine Ahnung habe, wie ich Rechnen muss um auf ein Ergebnis zu kommen. Ich denke auch das ich ein Problem haben würde das Ergebnis den Antwortmöglichkeiten zuzuordnen.
Ich hoffe das mir jemand helfen kann
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 Do 23.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe.
>
> Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:
>
> 0 1 1; x 0
> 0 1 1; y = 0
> 0 3 3; z 0
Sei so gut und schreibe das Gleichungssystem ordentlich auf. So wie es oben steht, kann man nur spekulieren, was gemeint sein könnte
FRED
>
>
> Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
>
> a) Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung.
> b) Das Gleichungssystem besitzt die eindeutige Lösung
> x=y=z=2
> c) Das Gleichungssystem besitzt eine eindeutige Lösung
> d) Das Gleichungssystem besitzt die eindeutige Lösung
> x=y=z=0
> e) Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen
>
>
> Das Problem ist, dass ich überhaupt keine Ahnung habe, wie
> ich Rechnen muss um auf ein Ergebnis zu kommen. Ich denke
> auch das ich ein Problem haben würde das Ergebnis den
> Antwortmöglichkeiten zuzuordnen.
>
>
> Ich hoffe das mir jemand helfen kann
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Do 23.09.2010 | | Autor: | Eduart |
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 3 }* \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo Eduart,
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 3 & 3 }* \vektor{x \\
y \\
z}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
0 \\
0}[/mm]
>
>
Dies ist ein homogenes LGS, das hat immer eine Lösung, nämlich den Nullvektor [mm] $\vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Lösbar ist es also schonmal.
Bringe die Matrix [mm] $\pmat{0&1&1\\0&1&1\\0&3&3}$ [/mm] mittels elementarer Zeilenumformungen in Zeilenstufenform.
Was kannst du dann über die Lösung(en) sagen?
Schaue dir in diesem Zusammenhang nochmal den Begriff des Ranges einer Matrix an ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Do 23.09.2010 | | Autor: | Eduart |
OK danke.
Soweit ich das jetzt verstanden habe:
erste zeile bleibt
Zeile 2 - 2* Zeile 1
Zeile 3 -3*zeile 1 + zeile 3
Bin ich auf dem richtigen weg?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Do 23.09.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
> OK danke.
>
> Soweit ich das jetzt verstanden habe:
>
> erste zeile bleibt
> Zeile 2 - 2* Zeile 1
> Zeile 3 -3*zeile 1 + zeile 3
>
> Bin ich auf dem richtigen weg?
Ja.
Anstatt "> Zeile 2 - 2* Zeile 1
müsste es 'Zeile 2: - Zeile 1 + Zeile 2' sein.
Gruß meili
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Do 23.09.2010 | | Autor: | Eduart |
Wenn ich das mache, dann würde es so aussehen:
Erste Zeile bleibt: 0 1 1
Zeile 2: - Zeile 1 + Zeile 2' sein. : 0 1 1
Zeile 3: -3 * zeile 1 + zeile 3: 0 3 3
also bleibt ja alles so wie es eigentlich war...
oder habe ich irgendeinen Rechenfehler gemacht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Do 23.09.2010 | | Autor: | Eduart |
Hmmm wenn ich
Zeile 2 - zeile 1 + zeile 2 mache, komme ich nicht auf 0 0 0 sondern auf 0 1 1
was mache ich falsch? hab grad einen black out =/
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hmmm wenn ich
>
> Zeile 2 - zeile 1 + zeile 2 mache, komme ich nicht auf 0 0
> 0 sondern auf 0 1 1
>
> was mache ich falsch? hab grad einen black out =/
>
Du hast das mehrfach falsch gelesen bzw. fehlinterpretiert.
Die einfachen Hochkommata meinten keine neue Zeilenbezeichnung 2' !!
Oben steht
Zeile2: -Zeile1 + Zeile2
Soll heißen: die neue zweite Zeile ergibt sich, indem du das -1fache der 1.Zeile auf die 2.Zeile addierst.
Mit allen Zwischenschritten in rot: vollziehe sie mal nach
[mm]\pmat{0&1&1\\
0&1&1\\
0&3&3}\red{\leadsto \pmat{0&-1&-1\\
0&1&1\\
0&3&3}\leadsto \pmat{0&-1&-1\\
0&0&0\\
0&3&3}}\leadsto \pmat{0&1&1\\
0&0&0\\
0&3&3}[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Do 23.09.2010 | | Autor: | Eduart |
Achso. Vielen Dank jetzt ist es mir klar.
Aber was mache ich jetzt mit dem Ergebnis?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Achso. Vielen Dank jetzt ist es mir klar.
>
> Aber was mache ich jetzt mit dem Ergebnis?
>
>
Poste deine Matrix in vollst. Zeilenstufenform.
Daran kannst du die Anzahl der frei wählbaren Parameter ablesen.
Nochmal das Stichwort: Rang einer Matrix.
Das hast du dir trotz meines Rates bestimmt nicht angeschaut, oder?
Zumindest macht es stark den Eindruck ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Do 23.09.2010 | | Autor: | Eduart |
Doch hab ich mir angeschaut.
Nur bin i in Mathematik eine totale Null und verstehe es eben nicht=/
Die richtige zeilenstufenform muss dann also das sein:
Zeile 1: 0 1 1
Zeile 2: 0 0 0
Zeile 3: 0 0 0
Das ist doch mit zeilenstufenform gemeint oder?
|
|
|
| |
|
> Zeile 1: 0 1 1
> Zeile 2: 0 0 0
> Zeile 3: 0 0 0
Ja das ist mit (reduzierter) Zeilenstufenform gemeint.
[mm]\left (\begin{array}{ccc}
x&y&z\\
\hline
0&0&0\\
0&1&1\\
0&0&0
\end{array}\right )[/mm] So schaut es vielleicht übersichtlicher aus
Jetzt kannst du welche Variablen frei wählen? Damit kannst du dann den Lösungsraum bestimmen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Do 23.09.2010 | | Autor: | Eduart |
Ok danke
aber was ist mit freiem wählem von variablen gemeint? wie sehe ich was ich frei wählen kann?
Ich weis zwar, dass das ergebnis eindeutige lösung x=y=z=0 ist, aber jetzt nicht wie ich das hier heraussehen kann
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ok danke
>
> aber was ist mit freiem wählem von variablen gemeint? wie
> sehe ich was ich frei wählen kann?
>
>
> Ich weis zwar, dass das ergebnis eindeutige lösung x=y=z=0
> ist, aber jetzt nicht wie ich das hier heraussehen kann
>
Eben nicht!
Schreibe dir die Matrix wieder in ein Gleichungssystem um
1.Zeile: [mm]0\cdot{}x+0\cdot{}y+0\cdot{}z=0[/mm]
2.Zeile: [mm]0\cdot{}x+1\cdot{}y+1\cdot{}z=0[/mm]
3.Zeile: [mm]0\cdot{}x+0\cdot{}y+0\cdot{}z=0[/mm]
Also
(1) [mm]0=0[/mm]
(2) [mm]y+z=0[/mm]
(3) [mm]0=0[/mm]
reduziert sich (siehe bei Fred) zu:
[mm]y+z=0[/mm]
Welche [mm]x,y,z[/mm] erfüllen das?
Offenbar hängt die Gleichung überhaupt nicht von x ab, das kannst du schon mal frei wählen.
Was ist mit [mm]y,z[/mm] in [mm]y+z=0[/mm]
Jetzt aber mal etwas Leistung von dir!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Do 23.09.2010 | | Autor: | Eduart |
unendlich viele lösungen
da
z.b.
-1y + 1z = 0
man muss immer das gegeteil vom y im z einsetzen und es gibt deswegen unendlich viele lösungen weil egal was man bei y einsetzt ....man muss nur das gegenteil einsetzen und man kommt somit immer wieder auf 0
|
|
|
| |
|
> unendlich viele lösungen
> da
> z.b.
> -1y + 1z = 0
> man muss immer das gegeteil vom y im z einsetzen und es
> gibt deswegen unendlich viele lösungen weil egal was man
> bei y einsetzt ....man muss nur das gegenteil einsetzen und
> man kommt somit immer wieder auf 0
Und wie schreibt man das auf?
Lösungsraum [mm]\mbox{span}\left ( (1,0,0)^T,(0,1,-1)^T\right )[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Do 23.09.2010 | | Autor: | Eduart |
Vielen Dank für eure hilfe und eure unendliche gedult mit mir =)
Bin euch echt dankbar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Do 23.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 3 }* \vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Das Gl. -System reduziert sich auf eine Gleichung:
y+z=0
FRED
>
>
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
nein, - Zeile 1 + Zeile 2: 0 0 0
