Lineares GLS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Fr 29.06.2012 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | Ich habe folgendes lineares GLS, wo man eine Lösung finden muss:
[mm] \begin{pmatrix}
2 & 0 & -1 & | & -1 \\
0 & 1 & -1 & | & 1 \\
0 & 0 & 0 & | & 0
\end{pmatrix} [/mm] |
Guten Abend,
ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich es richtig gelöst habe!
Ich gehe mal Schritt für Schritt vor!
[mm] x_{3} [/mm] kann ich frei wählen. Wähle also [mm] x_{3} [/mm] = 1
Für [mm] x_{2} [/mm] gilt dann: [mm] 1x_{2} [/mm] -1 = 1
Also [mm] x_{2} [/mm] = 2
Für [mm] x_{1} [/mm] gilt: [mm] -2x_{1} [/mm] -1 = -1
Also [mm] x_{1} [/mm] = 0
Meine Lösung wäre dann: (0,2,1)
In der Musterlösung ist aber das Ergebnis (1,0,-1) angegeben.
Da die beiden Vektoren nicht linear abhängig sind, vermute ich, dass ich nen Fehler gemacht habe. Könnte mir wer helfen?
Danke
Gruß Tina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:51 Fr 29.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn u nur irgendeine lösung finden sollst ist deine auch richtig. wenn du alle finden willst, setze [mm] x_3=s [/mm] und schreib dann die lösungen hin, darunter ist sowohl deine als auch die angegebene.
zu jeder Lösung der inhomogenen GS (also rechte seite nicht nur 0) kann man eine beliebige Lösung des homogenen GS addieren. und sie bleibt Lösung. (warum?)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Fr 29.06.2012 | | Autor: | tinakru |
Das Gleichungssystem muss ich im Rahmen der Bestimmung eines Eigenraums zu einem Eigenwert lösen!
Daher meine Zweifel.
Es ist doch ein Unterschied, ob der Eigenraum nun von
<(1,0,-1)> oder von <0,2,1> erzeugt wird.
Oder sehe ich da was falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Fr 29.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
da beides Lösungen sind ist der Raum eben nicht 1 dimensional, oder du hast vorher einen Fehler
aber Eigenvektoren zu einer linearen Abbildung hat man doch keine inhomogene GS??
durch einsetzen kannst du doch leicht sehen, dass beide Lösungen richtig sind. wenn du x3=-1 gewählt hättest hättest du die andere Lösung gefunden!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Fr 29.06.2012 | | Autor: | tinakru |
Danke schonmal. Ich glaube ich muss noch etwas weiter ausholen!
Es geht um die Bestimmung eines Fundamentalsystems einer homogen Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Da muss man ja eine Jordanbasis bestimmen.
Dazu benötigt man aber die verallgemeinerten Eigenräume.
Ich habe einen Eigenwert 1 mit Vielfachheit 2.
Um den Eigenraum zu berechnen betrachte ich (A - 1 [mm] I_{3}) [/mm] mit obiger Matrix.
Da erhalte ich <(1,-2,-2)> als Ergebnis. Dies ist korrekt!
Ich brauche aber den verallgemeinerten Eigenraum. Also betrachte ich
(A- 1 I{3})².
Und genau hier erhalte ich eben obiges lineares Gls.
Die Frage ist jetzt, was ist meine adaptierte Basis? Welchen Vektor muss ich als Lösung nehmen? (1,0,-1) oder (0,2,1) ?
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> Es geht um die Bestimmung eines Fundamentalsystems einer
> homogen Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten
> Koeffizienten.
>
> Da muss man ja eine Jordanbasis bestimmen.
>
> Dazu benötigt man aber die verallgemeinerten Eigenräume.
>
> Ich habe einen Eigenwert 1 mit Vielfachheit 2.
>
> Um den Eigenraum zu berechnen betrachte ich (A - 1 [mm]I_{3})[/mm]
> mit obiger Matrix.
>
> Da erhalte ich <(1,-2,-2)> als Ergebnis. Dies ist korrekt!
Hallo,
okay, Du hast also festgestellt: [mm] kern(A-1I_3)=<(1,-2,-2)>.
[/mm]
>
> Ich brauche aber den verallgemeinerten Eigenraum. Also
> betrachte ich
>
> (A- 1 [mm] I_{3})².
[/mm]
Ich kenne mich mit DGLen nicht mehr so genau aus, aber man unter "betrachten" verbirgt sich doch zunächst einmal die Bestimmung einer Basis von [mm] kern(A-1I_3)^2.
[/mm]
>
> Und genau hier erhalte ich eben obiges lineares Gls.
Nein, Du bekommst dann doch erstmal ein homogenes LGS, welches zu lösen ist.
Danach erst geht's dann an die Hauptvektorkette.
Bei Rückfragen wär's vielleicht ganz gut, wenn wir die Matrix A erfahren könnten...
LG Angela
>
> Die Frage ist jetzt, was ist meine adaptierte Basis?
> Welchen Vektor muss ich als Lösung nehmen? (1,0,-1) oder
> (0,2,1) ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Sa 30.06.2012 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | Hallo,
hier mal die Ausgangsmatrix:
[mm] \begin{pmatrix}
2 & 0 & -1 & | & -1 \\
0 & 1 & -1 & | & 1 \\
0 & 0 & 0 & | & 0
\end{pmatrix} [/mm] |
Aufgabe ist. Finde ein Fundamentalsystem von Lösungen für die DGL
y' = Ay </task>
Die Vorgehensweise ist mir relativ klar. Eigentwerte bestimmen. Diese sind:
[mm] e_{1} [/mm] = 1 (Vielfachheit 2) und [mm] e_{2} [/mm] = -1 (Vielfachheit 1)
Dann muss ich die zugehörigen verallgemeinerten Eigenräume bestimmen. Für den Eigenwert -1 ist das überhaupt kein Thema.
Nun aber zum Eigenwert 1.
Da betrachte ich als erstes (A - 1 * [mm] I_{3})x [/mm] = 0
Da bekomme ich dann den Vektor b= (1,-2,-2) raus.
Nun muss ich aber, um den verallgemeinerten Eigenraum zu kriegen noch
(A - [mm] 1*I_{3})² [/mm] betrachten. Hier stelle ich fest, dass der Lösungsraum Dimension 2 hat. (Dies stimmt alles, braucht ihr nicht nachprüfen, hab ich von der Lösung)
Um eine (A - 1 * [mm] I_{3})-adaptierte [/mm] Basis des verallgemeinerten Eigenraums zu bestimmen muss ich nun (A - [mm] 1*I_{3})x [/mm] = b betrachten und diese inhomogene LGS lösen.
Da erhalte ich nach Vereinfachung (stimmt ebenfalls):
[mm] \begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 & | & 1 \\
0 & 1 & -1 & | & 1 \\
0 & 0 & 0 & | & 0
\end{pmatrix} [/mm] </task>
So, und nun kommt meine Frage: In der Lösung taucht nun als Lösungsvektor auf: (1,0,-1) hier wurde [mm] x_{3} [/mm] = -1 beliebig gewählt.
Ich wähle aber [mm] x_{3} [/mm] = 1 und erhalte: (0,2,1).
Ebenso könnte ich aber [mm] x_{3} [/mm] = 0 wählen und erhalte: (1,2,0)
Die Frage ist, wie finde ich nun meine adaptierte Basis? Welchen Vektor muss ich nehmen? Die sind ja offenbar alle verschieden :(
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> Hallo,
>
> hier mal die Ausgangsmatrix:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & | & -1 \\
0 & 1 & -1 & | & 1 \\
0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}[/mm]
Hallo,
das ist wohl kaum die Ausgangsmatrix A.
Es wäre aber echt nicht übel, sie zu kennen.
>
> Aufgabe ist. Finde ein Fundamentalsystem von Lösungen für
> die DGL
> y' = Ay
Es geht also um ein Lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
> Die Vorgehensweise ist mir relativ klar. Eigentwerte
> bestimmen. Diese sind:
>
> [mm]e_{1}[/mm] = 1 (Vielfachheit 2) und [mm]e_{2}[/mm] = -1 (Vielfachheit 1)
>
> Dann muss ich die zugehörigen verallgemeinerten
> Eigenräume bestimmen. Für den Eigenwert -1 ist das
> überhaupt kein Thema.
>
> Nun aber zum Eigenwert 1.
> Da betrachte ich als erstes (A - 1 * [mm]I_{3})x[/mm] = 0
>
> Da bekomme ich dann den Vektor b= (1,-2,-2) raus.
als eine Basis von [mm] Kern(A-1*I_3).
[/mm]
>
> Nun muss ich aber, um den verallgemeinerten Eigenraum zu
> kriegen noch
> (A - [mm]1*I_{3})^2[/mm] betrachten.
Den Kern davon.
> Hier stelle ich fest, dass der
> Lösungsraum Dimension 2 hat.
An dieser Stelle dürfstest Du uns gerne eine Basis verraten.
Kern(A [mm] -1*I_{3})^2=<\vektor{1\\-2\\-2},v_2>
[/mm]
Was ist [mm] v_2 [/mm] bei Dir?
> (Dies stimmt alles, braucht
> ihr nicht nachprüfen, hab ich von der Lösung)
>
> Um eine (A - 1 * [mm]I_{3})-adaptierte[/mm] Basis des
> verallgemeinerten Eigenraums zu bestimmen muss ich nun (A -
> [mm]1*I_{3})x[/mm] = b betrachten und diese inhomogene LGS lösen.
Hm.
Mit der mir bekannten Vorgehensweise würde jetzt dies passieren: ich würde den Vektor [mm] v_2, [/mm] der in [mm] Kern(A-1*I_3)^2 [/mm] \ [mm] Kern(A-1*I_3) [/mm] liegt, nehmen und
[mm] v_1:=(A-1*I_3)v_2 [/mm] berechnen.
Und wenn man das tut, gibt's keine Wahlmöglichkeit.
LG Angela
>
> Da erhalte ich nach Vereinfachung (stimmt ebenfalls):
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & | & 1 \\
0 & 1 & -1 & | & 1 \\
0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> So, und nun kommt meine Frage: In der Lösung taucht nun
> als Lösungsvektor auf: (1,0,-1) hier wurde [mm]x_{3}[/mm] = -1
> beliebig gewählt.
>
> Ich wähle aber [mm]x_{3}[/mm] = 1 und erhalte: (0,2,1).
>
> Ebenso könnte ich aber [mm]x_{3}[/mm] = 0 wählen und erhalte:
> (1,2,0)
>
> Die Frage ist, wie finde ich nun meine adaptierte Basis?
> Welchen Vektor muss ich nehmen? Die sind ja offenbar alle
> verschieden :(
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:07 So 01.07.2012 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | Hier mal die Ausgangsmatrix:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 \\
0 & -1 & 2 \\
-2 & -1 & 1
\end{pmatrix} [/mm] |
</task>
Ich schau mir jetzt deine Lösung mal an :)
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> Hallo,
>
> hier mal die Ausgangsmatrix:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & | & -1 \\
0 & 1 & -1 & | & 1 \\
0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Aufgabe ist. Finde ein Fundamentalsystem von Lösungen für
> die DGL
> y' = Ay
> Die Vorgehensweise ist mir relativ klar. Eigentwerte
> bestimmen. Diese sind:
>
> [mm]e_{1}[/mm] = 1 (Vielfachheit 2) und [mm]e_{2}[/mm] = -1 (Vielfachheit 1)
>
> Dann muss ich die zugehörigen verallgemeinerten
> Eigenräume bestimmen. Für den Eigenwert -1 ist das
> überhaupt kein Thema.
>
> Nun aber zum Eigenwert 1.
> Da betrachte ich als erstes (A - 1 * [mm]I_{3})x[/mm] = 0
>
> Da bekomme ich dann den Vektor b= (1,-2,-2) raus.
>
> Nun muss ich aber, um den verallgemeinerten Eigenraum zu
> kriegen noch
> (A - [mm]1*I_{3})²[/mm] betrachten. Hier stelle ich fest, dass der
> Lösungsraum Dimension 2 hat. (Dies stimmt alles, braucht
> ihr nicht nachprüfen, hab ich von der Lösung)
>
> Um eine (A - 1 * [mm]I_{3})-adaptierte[/mm] Basis des
> verallgemeinerten Eigenraums zu bestimmen muss ich nun (A -
> [mm]1*I_{3})x[/mm] = b betrachten und diese inhomogene LGS lösen.
>
> Da erhalte ich nach Vereinfachung (stimmt ebenfalls):
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & | & 1 \\
0 & 1 & -1 & | & 1 \\
0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
Hallo,
mir wird gerade klar, was der Gedanke dieses Tuns ist.
Ja, alle Lösungen sollten funktionieren.
Du kannst das ja prüfen, indem Du mit zweien mal die Probe machst, also guckst ob Du damit das Differentialgleichungssystem gelöst hast.
LG Angela
>
> So, und nun kommt meine Frage: In der Lösung taucht nun
> als Lösungsvektor auf: (1,0,-1) hier wurde [mm]x_{3}[/mm] = -1
> beliebig gewählt.
>
> Ich wähle aber [mm]x_{3}[/mm] = 1 und erhalte: (0,2,1).
>
> Ebenso könnte ich aber [mm]x_{3}[/mm] = 0 wählen und erhalte:
> (1,2,0)
>
> Die Frage ist, wie finde ich nun meine adaptierte Basis?
> Welchen Vektor muss ich nehmen? Die sind ja offenbar alle
> verschieden :(
>
>
>
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> Ich habe folgendes lineares GLS, wo man eine Lösung finden
> muss:
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> [mm]\begin{pmatrix}
2 & 0 & -1 & | & -1 \\
0 & 1 & -1 & | & 1 \\
0 & 0 & 0 & | & 0
\end{pmatrix}[/mm]
Die letzte Zeile hat doch überhaupt keine Aussagekraft.
Insofern liegen nur zwei Gleichungen mit drei Unbekannten vor.
Deshalb gibt es unendlich viele Lösungen.
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