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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:25 Do 25.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
| Aufgabe | Bestimmen Sie zu dem folgenden linearen Gleichungssystem ein reelles Fundamentalsystem
[mm] u'(t)=\pmat{0&-1&1\\0&0&1\\-1&0&1}u(t) [/mm] |
Okay, also ich muss ja zuerst die Eigenwerte von A berechnen, da komm ich auf [mm] \lambda\in\{1,\pm i\}.
[/mm]
Jetzt weiß ich aber nicht, was mir das sagt?! Mit [mm] \lambda=1 [/mm] kann ich ein Element des Fundamentalsystems bestimmen. Und was mach ich mit den komplexen [mm] \lambda? [/mm] Ignorier ich die, wegen "reelles Fundamentalsystem" oder bekomm ich damit auch noch andere Lösungen heraus, so wie bei einfachen DGL?
Danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:49 Fr 26.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die i geben dir als Lösung noch Asinx und Bcosx
denn sie geben dir komplex [mm] e^{ix} e^{-ix} [/mm] und [mm] e^{ix}-e^{-ix}=2isinx [/mm] uns [mm] e^{ix}+e^{-ix}=2cosx
[/mm]
wenn du die C's also gut wählst kannst du statt [mm] C1e^{ix}+C2e^{-ix} [/mm] auch Asinx und Bcosx schreiben.
Bis dann lula
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Fr 26.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
Bitte mal prüfen, ob ich das jetzt so richtig mache:
Für [mm] \lambda=1 [/mm] hatte ich [mm] \vektor{0\\1\\1}e^t [/mm] als Element des Fundamentalsystems raus (ich denk mal das stimmt)
Für [mm] \lambda=\pm [/mm] i nehm ich jetzt also den Ansatz
[mm] u(t)=\vec{a}sin(t)+\vec{b}cos(t)
[/mm]
Damit
[mm] u'(t)=\vec{a}cos(t)-\vec{b}sin(t)
[/mm]
Wenn ich das in das Gleichungssystem einsetze, und Koeffizientenvergleích mache, komme ich auf
[mm] u(t)=\vektor{\alpha\\\alpha\\0}sin(t)+\vektor{\alpha\\0\\\alpha}cos(t)
[/mm]
Damit ist mein Fundamentalsystem
[mm] \left\{\vektor{0\\1\\1}e^t;\vektor{1\\1\\0}sin(t)+\vektor{1\\0\\1}cos(t)\right\}
[/mm]
Ist das so vollständig? Geht es auch anders als mit Koeff-Vergleich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Fr 26.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du statt eines + ein Komma zwischen sin und cos machst ist es richtig.
(ich hab die Eigenvektoren nicht nachgerechnet)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Fr 26.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
Ich hatte mir auch schon überlegt, ob da ein Komma hinkommt. Aber eigentlich geht das doch nicht. Immerhin hat der Ansatz ja auch das "+". Außerdem müsste ja dann z.B. [mm] u(t)=\vektor{1\\1\\0}sin(t) [/mm] eine Lösung des DGL-Systems sein. Ist es aber nicht. Wobei [mm] u(t)=\vektor{1\\1\\0}sin(t)+\vektor{1\\0\\1}cos(t) [/mm] aber schon eine Lösung ist. Oder seh ich das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Fr 26.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich seh nicht, warum sin(t)*e1 keine Lösung ist, wie hast du denn den Eigenvektor sonst bestimmt?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Fr 26.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
Hm. Na ich hab [mm] u(t)=\vektor{a_1\\a_2\\a_3}sin(t)+\vektor{b_1\\b_2\\b_3}cos(t) [/mm] eingesetzt, und dann Koeffizientenvergleich gemacht und eben [mm] a_1=a_2=b_1=b_3=\alpha [/mm] und [mm] a_3=b_2=0 [/mm] rausbekommen [mm] (\alpha\in\IR). [/mm] Ich lass mich aber gern eines Besseren belehren...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Fr 26.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
OK, hatte mich verrechnet. Ich denke mal, ich habs jetzt. Ich bekomme am Ende als Fundamentalsystem
[mm] \left\{\vektor{0\\1\\1}e^t;\vektor{1\\0\\1}sin(t)+\vektor{-1\\-1\\0}cos(t);\vektor{1\\1\\0}sin(t)+\vektor{1\\0\\1}cos(t)\right\}
[/mm]
Sieht eigentlich ganz hübsch aus, oder? ;)
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