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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 So 15.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
gegeben A [mm] \in \IR^{m,n} [/mm] und [mm] b\in \IR^{m} [/mm] mit [mm] m\ge [/mm] n:
Bei einem Linearen Ausgleichsproblem (LAP) geht es ums Minimieren von
[mm] ||Ax-b||_{2}=min [/mm] (1)
bezüglich x.
Dann steht noch in unserem Skript, dass:
[mm] a)\xi \in \IR^{n} [/mm] ist genau dann eine Lösung von (1), wenn [mm] \xi [/mm] den so genannten Normalgleichungen [mm] A^{T}A\xi=A^{T}b [/mm] genügt.
(Die Menge der Lösungen ist nicht leer)
b) (1) genau dann eine eindeutige Lösung besitzt, wenn A Vollrang besitzt, d.h rgA=n.
c) Unter allen Lösungen von (1) gibt es genau eine mit minimaler euklidischer Norm .
Ich habe folgende Fragen bzgl. des oben geschriebenen:
b) verstehe ich so,dass falls rgA=n , dann gibt es nur ein x, für den (1) Minimum annimmt. (stimmt das?)
Ich verstehe aber nicht , was mit c) gemeint wird.
Ich würde c) erstmal so interpretieren:
wenn es mehr als eine Lösung von (1) gibt, dann gibt es davon genau eine mit minimaler euklidischer Norm.
Was heißt das dann für die übrigen "Lösungen", die nicht mit minimaler euklidischer Norm sind? Lösen sie nicht (1)?
Kann mir bitte das jemand erklären?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:09 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Stoecki |
hallo igor,
zitat: b) verstehe ich so,dass falls rgA=n , dann gibt es nur ein x, für den (1) Minimum annimmt. (stimmt das?)
ja, das ist richtig.
zitat: Ich verstehe aber nicht , was mit c) gemeint wird.
Ich würde c) erstmal so interpretieren:
wenn es mehr als eine Lösung von (1) gibt, dann gibt es davon genau eine mit minimaler euklidischer Norm.
Was heißt das dann für die übrigen "Lösungen", die nicht mit minimaler euklidischer Norm sind? Lösen sie nicht (1)?
über den teil musste ich gerade was nachdenken. sei z.B. A := [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] und b = [mm] \vektor{1 \\ 1}. [/mm] dann ist sicherlich x = [mm] \vektor{1 \\ k} [/mm] ein minimierer. aber nicht eindeutig. der mit minimaler euklidischer norm wäre hier der mit k=0. ich gehe hier also davon aus, dass mit minimaler euklidischer norm sich auf das x bezogen wurde. anders machts für mich keinen sinn
gruß bernhard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:25 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Bernhard,
Danke Dir !
Dass es sich nur auf x bezieht, kam ich nicht darauf, da ich immer vor Augen
||Ax-b||=min hatte und nur diesbezüglich "minimale euklidische Norm" interpretierte.
Gruss
Igor
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