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Lineares Ausgleichsproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:13 Di 15.06.2010
Autor: jaruleking

Aufgabe
Lösen Sie das folgende Ausgleichsproblem mittels Normalgleichung:

Minimieren Sie [mm] \bruch{1}{2}\parallel [/mm] Ax - b [mm] \parallel_2^2 [/mm] für [mm] x\in \IR^2 [/mm]

Hi,

meine erste Frage hierzu ist:

Ist Minimieren Sie [mm] \bruch{1}{2}\parallel [/mm] Ax - b [mm] \parallel_2^2 [/mm] für [mm] x\in \IR^2 [/mm] das Gleiche wie Minimieren Sie [mm] \parallel [/mm] Ax - b [mm] \parallel_2^2 [/mm] für [mm] x\in \IR^2?? [/mm]

Weil ich habe gesehen, dass einige diese 1/2 davor schreiben und andere nicht, hat das eine bestimmte Bedeutung??

Dann wollte ich fragen, ob jemand von euch vielleicht eine Seite kennt, wo so eine Beispielaufgabe mal vorgerechnet wird? Denn irgendwie komme ich damit noch nicht zurecht.

Danke schon mal.

Gruß

        
Bezug
Lineares Ausgleichsproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:23 Di 15.06.2010
Autor: fred97


> Lösen Sie das folgende Ausgleichsproblem mittels
> Normalgleichung:
>  
> Minimieren Sie [mm]\bruch{1}{2}\parallel[/mm] Ax - b [mm]\parallel_2^2[/mm]
> für [mm]x\in \IR^2[/mm]
>  Hi,
>  
> meine erste Frage hierzu ist:
>
> Ist Minimieren Sie [mm]\bruch{1}{2}\parallel[/mm] Ax - b
> [mm]\parallel_2^2[/mm] für [mm]x\in \IR^2[/mm] das Gleiche wie Minimieren
> Sie [mm]\parallel[/mm] Ax - b [mm]\parallel_2^2[/mm] für [mm]x\in \IR^2??[/mm]




Ja


>  
> Weil ich habe gesehen, dass einige diese 1/2 davor
> schreiben und andere nicht, hat das eine bestimmte
> Bedeutung??

Nur eine "kosmetische" !

>  
> Dann wollte ich fragen, ob jemand von euch vielleicht eine
> Seite kennt, wo so eine Beispielaufgabe mal vorgerechnet
> wird? Denn irgendwie komme ich damit noch nicht zurecht.


http://de.wikipedia.org/wiki/Methode_der_kleinsten_Quadrate

http://www.mathematik.uni-kl.de/~damm/PRAMA/ausgleich.pdf


FRED

>  
> Danke schon mal.
>  
> Gruß


Bezug
                
Bezug
Lineares Ausgleichsproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:43 Di 15.06.2010
Autor: jaruleking

HI FRED,

mir ist gerade erst aufgefallen, dass ich die Aufgabe gar nicht komplett angegeben hatte. Deswegen nochmal:

> Lösen Sie das folgende Ausgleichsproblem mittels Normalgleichung:

> Minimieren Sie $ [mm] \bruch{1}{2}\parallel [/mm] $ Ax - b $ [mm] \parallel_2^2 [/mm] $ für $ [mm] x\in \IR^2 [/mm] $ mit [mm] A=\pmat{ 2 & 3 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}. [/mm]

> Ist das Problem eindeutig lösbar?

Ok, die Normalgleichung lautet ja: [mm] A^T Ax=A^T [/mm] b

damit erhalte ich [mm] A^T [/mm] A= [mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 }\pmat{ 2 & 3 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0}=\pmat{ 6 & 7 \\ 7 & 10 } [/mm] und [mm] A^T [/mm] b= [mm] \vektor{2 \\ 3} [/mm]

Damit erhalte ich dann:

[mm] \pmat{ 6 & 7 \\ 7 & 10 }x= \vektor{2 \\ 3} [/mm] und dann die Lösung:

x= [mm] \vektor{\bruch{-28}{8} \\ \bruch{11}{4}} [/mm]

Und das ist dann die Lösung meines Minimierungsproblems, richtig??

Und auf die Frage der Eindeutigkeit der Lösung. Ja, die Lösung des Minimierungsproblems ist eindeutig, da Rang [mm] A=2\in \IR^2. [/mm]

Könnt ihr das so bestätigen?

Grüße

Bezug
                        
Bezug
Lineares Ausgleichsproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:36 Mi 16.06.2010
Autor: MathePower

Hallo jaruleking,

> HI FRED,
>  
> mir ist gerade erst aufgefallen, dass ich die Aufgabe gar
> nicht komplett angegeben hatte. Deswegen nochmal:
>  
> > Lösen Sie das folgende Ausgleichsproblem mittels
> Normalgleichung:
>
> > Minimieren Sie [mm]\bruch{1}{2}\parallel[/mm] Ax - b [mm]\parallel_2^2[/mm]
> für [mm]x\in \IR^2[/mm] mit [mm]A=\pmat{ 2 & 3 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0}[/mm] und
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}.[/mm]
>  
> > Ist das Problem eindeutig lösbar?
>  
> Ok, die Normalgleichung lautet ja: [mm]A^T Ax=A^T[/mm] b
>  
> damit erhalte ich [mm]A^T[/mm] A= [mm]\pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 }\pmat{ 2 & 3 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0}=\pmat{ 6 & 7 \\ 7 & 10 }[/mm]
> und [mm]A^T[/mm] b= [mm]\vektor{2 \\ 3}[/mm]
>  
> Damit erhalte ich dann:
>  
> [mm]\pmat{ 6 & 7 \\ 7 & 10 }x= \vektor{2 \\ 3}[/mm] und dann die
> Lösung:
>  
> x= [mm]\vektor{\bruch{-28}{8} \\ \bruch{11}{4}}[/mm]
>  
> Und das ist dann die Lösung meines Minimierungsproblems,
> richtig??


Die Lösung des Mimimierungsproblems ist nicht richtig.


>  
> Und auf die Frage der Eindeutigkeit der Lösung. Ja, die
> Lösung des Minimierungsproblems ist eindeutig, da Rang
> [mm]A=2\in \IR^2.[/mm]


Ok.


>  
> Könnt ihr das so bestätigen?
>  
> Grüße  


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Lineares Ausgleichsproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:58 Mi 16.06.2010
Autor: jaruleking

HI MathePower,

> Die Lösung des Mimimierungsproblems ist nicht richtig.

Wo steckt denn der Fehler? ich dachte, man kann es mit der Normalgleichung so rechnen, oder wie muss ich das machen??

grüße

Bezug
                                        
Bezug
Lineares Ausgleichsproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:05 Mi 16.06.2010
Autor: MathePower

Hallo jaruleking,

> HI MathePower,
>  
> > Die Lösung des Mimimierungsproblems ist nicht richtig.
>  
> Wo steckt denn der Fehler? ich dachte, man kann es mit der
> Normalgleichung so rechnen, oder wie muss ich das machen??


Das ist ja auch richtig so.

Der Fehler ist offenbar beim Auflösen des Gleichungssystems

[mm]\pmat{6 & 7 \\ 7 & 10}x=\pmat{2 \\ 3}[/mm]

passiert, denn der von Dir angegebene Vektor erfüllt
dieses Gleichungssystem nicht.


>  
> grüße


Gruss
MathePower

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Bezug
Lineares Ausgleichsproblem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:12 Mi 16.06.2010
Autor: jaruleking

Achso ok.

Da hatte ich mich wohl verrechnet. aber mit  x= $ [mm] \vektor{\bruch{4}{11} \\ \bruch{-1}{11}} [/mm] $ müsste es schon klappen, oder??

Gruß

Bezug
                                                        
Bezug
Lineares Ausgleichsproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Mi 16.06.2010
Autor: MathePower

Hallo jaruleking,

> Achso ok.
>  
> Da hatte ich mich wohl verrechnet. aber mit  x=
> [mm]\vektor{\bruch{4}{11} \\ \bruch{-1}{11}}[/mm] müsste es schon
> klappen, oder??


Der Vektor lautet eher:

[mm]x=\pmat{-\bruch{1}{11} \\ \bruch{4}{11}}[/mm]


>  
> Gruß


Gruss
MathePower

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Bezug
Lineares Ausgleichsproblem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:38 Mi 16.06.2010
Autor: jaruleking

ohhh m...., da habe ich mich schon wieder verschrieben.

danke.

ciao

Bezug
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