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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Linearer Integraloperator
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Linearer Integraloperator: Beschränkung bezüglich Maxnorm
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:45 Mi 31.08.2011
Autor: infra

Aufgabe
Gegegeben ist ein linearer Integraloperator
K: C([a,b]) [mm] \to [/mm] C([a,b])
mit
[mm] K{f}(s)=\integral_{a}^{b}{k(s,t)f(t) dt} [/mm]

Zeige das K bezüglich der Maximumsnorm beschränkt ist.

Ich bin noch ganz am Anfang der Aufgabe, mein Ansatz:
[mm] $\left|\left|K\right|\right|=\sup_{\left|\left|f\right|\right|=1}\left|\left|Kf\right|\right|\le \max_{\left|\left|f\right|\right|=1}\integral_{a}^{b}{\left|k(s,t)\right\left|f(t)\right| dt}$ [/mm]
Denn zweiten Teil müsste ich nun so umformen, das dort
die Maximumsnorm steht.
Nur leider weiß ich nicht wie, vielleicht kann ja jemand helfen.

Vielen Dank

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Linearer Integraloperator: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:12 Do 01.09.2011
Autor: strangelet

Hallo, weiss man etwas über die funktion [mm]k(s,t)[/mm]?

Bezug
        
Bezug
Linearer Integraloperator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:29 Do 01.09.2011
Autor: rainerS

Hallo!

Erstmal herzlich [willkommenvh]

> Gegegeben ist ein linearer Integraloperator
>  K: C([a,b]) [mm]\to[/mm] C([a,b])
>  mit
>  [mm]K{f}(s)=\integral_{a}^{b}{k(s,t)f(t) dt}[/mm]
>  
> Zeige das K bezüglich der Maximumsnorm beschränkt ist.
>  Ich bin noch ganz am Anfang der Aufgabe, mein Ansatz:
>  
> [mm]\left|\left|K\right|\right|=\sup_{\left|\left|f\right|\right|=1}\left|\left|Kf\right|\right|\le \max_{\left|\left|f\right|\right|=1}\integral_{a}^{b}{\left|k(s,t)\right\left|f(t)\right| dt}[/mm]
>  
> Denn zweiten Teil müsste ich nun so umformen, das dort
>  die Maximumsnorm steht.
>  Nur leider weiß ich nicht wie, vielleicht kann ja jemand
> helfen.

Fanng doch mal damit an, die Bedingung [mm] $\|f\|=1$ [/mm] zu verarbeiten. Die Bedingung bedeutet ja, das

(*) [mm]\sup_{x\in[a,b]} |f(x)| = 1 [/mm]

gilt. Nun versuche damit, das Integral

[mm]\left|\integral_{a}^{b}{k(s,t)f(t) dt}\right| [/mm]

abzuschätzen. Zunächst ist ja

[mm] \left|\integral_{a}^{b}{k(s,t)f(t) dt}\right| \le \integral_{a}^{b}|k(s,t)|*|f(t)| dt [/mm] .

Wie kannst du hier (*) ausnutzen?

   Viele Grüße
     Rainer

Bezug
                
Bezug
Linearer Integraloperator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:00 Do 01.09.2011
Autor: infra

Wenn ich die richtig verstehe, spielst du wahrscheinlich
auf folgende abschätzung eines integrals mit supremum an:
$ [mm] \left|\integral_{a}^{b}{k(s,t)f(t) dt}\right| \le \integral_{a}^{b}|k(s,t)|\cdot{}|f(t)| [/mm] dt [mm] \le \integral_{a}^{b}|k(s,t)|\cdot{}\sup_{t\in[a,b]} |f(t)|dt=\integral_{a}^{b}|k(s,t)|dt$ [/mm]
bedeutet das der operator bezüglich dem integral über
die kernfunktion beschränkt ist.
aber entspricht das der maximumsnorm?

Bezug
                        
Bezug
Linearer Integraloperator: Eigenschaften der Kernfunktion
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:17 Do 01.09.2011
Autor: infra

die Kernfunktion erfüllt folgende Ungleichung:
[mm] $\left|k(s,t)\right| \le c\left|s-t\right| [/mm] ^{-a}$
es gilt weiterhin:
[mm] $a\in[0,1)$ [/mm] und $c>0$
$k(s,t)$ist dementsprechend auch beschränkt

Bezug
                        
Bezug
Linearer Integraloperator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:16 Fr 02.09.2011
Autor: rainerS

Hallo!

> Wenn ich die richtig verstehe, spielst du wahrscheinlich
>  auf folgende abschätzung eines integrals mit supremum
> an:
>  [mm]\left|\integral_{a}^{b}{k(s,t)f(t) dt}\right| \le \integral_{a}^{b}|k(s,t)|\cdot{}|f(t)| dt \le \integral_{a}^{b}|k(s,t)|\cdot{}\sup_{t\in[a,b]} |f(t)|dt=\integral_{a}^{b}|k(s,t)|dt[/mm]
> bedeutet das der operator bezüglich dem integral über
>  die kernfunktion beschränkt ist.
>  aber entspricht das der maximumsnorm?

Nein, aber die Frage war ja nicht, was [mm] $\|K\|$ [/mm] ist, sondern nach der Beschränktheit. Schreib dir die vollständige Ungleichungskette auf:

  [mm] \|K\| = \sup_{\|f\|=1} \|Kf\| = \sup_{\|f\|=1} \sup_{s\in[a,b]} \left \integral_a^b k(s,t) f(t) dt \le \sup_{s\in[a,b]} \integral_{a}^{b}|k(s,t)|dt [/mm].

Da $k(s,t)$ beschränkt ist, also $|k(s,t)| [mm] \le [/mm] C$, ist

[mm] \sup_{s\in[a,b]} \integral_{a}^{b}|k(s,t)|dt \le C(b-a) [/mm]

und damit $ [mm] \|K\| \le [/mm] C(b-a)$.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                
Bezug
Linearer Integraloperator: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:01 Fr 02.09.2011
Autor: infra

Ok, die Herleitungs hab ich tatsächlich mal verstanden ;)
Vielen Dank.

Nur fehlt mir ehrlich gesagt ein bisschen eine Vorstellung,
was der Begriff Maximumsnorm bedeutet.
Geht es dabei um die größtmögliche Norm der
Kernfunktion, oder die allgemeine Abschätzung der Norm des Operators?

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