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| Aufgabe | folgende vektoren sollen auf lineare unabhängigkeit geprüft werden
[mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 1} \vektor{-1 \\ 2 \\ 3} \vektor{1 \\ -2 \\ 3} [/mm] |
hallo liebe matheexperten :)
mein erster ansatz war folgender:
a * [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 1} [/mm] + b* [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 3} [/mm] +c * [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{0\\ 0 \\ 0}
[/mm]
(-1)*a + (-1)*b + 1*c = 0 | *-1
2*a + 2*b + (-2)*c = 0 | 1. Gleichung minus 2. Gleichung
1*a + 3*b + 3*c = 0
nun kommt folgendes raus:
1*a + 1*b + 1*c = 0
0*a + 0*b + 0*c = 0
1*a + 3*b + 3*c = 0
wie rechne ich hier jetzt weiter???? was sagt mir die Nullreihe?
Liebe Grüße
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> folgende vektoren sollen auf lineare unabhängigkeit geprüft
> werden
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> [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ 1} \vektor{-1 \\ 2 \\ 3} \vektor{1 \\ -2 \\ 3}[/mm]
> hallo liebe matheexperten :)
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> mein erster ansatz war folgender:
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> a * [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}[/mm] + b* [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ 3}[/mm] +c *
> [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 3}[/mm] = [mm]\vektor{0\\ 0 \\ 0}[/mm]
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> (-1)*a + (-1)*b + 1*c = 0 | *-1
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> 2*a + 2*b + (-2)*c = 0 | 1. Gleichung minus 2.
> Gleichung
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> 1*a + 3*b + 3*c = 0
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> nun kommt folgendes raus:
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> 1*a + 1*b + 1*c = 0
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> 0*a + 0*b + 0*c = 0
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> 1*a + 3*b + 3*c = 0
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> wie rechne ich hier jetzt weiter???? was sagt mir die
> Nullreihe?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du behältst also nur 2 Gleichungen mit übrig, welche drei Variablen enthalten:
a+b+c=0
a+3b+3c=0
Dieses Gleichungssystem hat mehr als eine Lösung.
Daher gibt es insbesondere eine von a=b=c=0 verschiedene Lösung,
was bedeutet, daß Deine Vektoren nicht linear unabhängig sind.
Kannst Du solch eine Lösung angeben? Wenn Du eine hast, kannst Du die Null als nichttriviale Linearkombination Deiner drei Vektoren schreiben.
Gruß v. Angela
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Vielen Dank erstmal für deine Hilfe!
folgende Frage wirft sich bei mir noch auf:
ich habe 2 Gleichungen, aber 3 Unbekannte!
a + b+ c = 0
a + 3b + 3c = 0 | erste Gleichung minus 2. Gleichung
a+ b +c = 0
2b + 2c = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] b = -c
in die erste gleichung eingesetzt:
a+ (-c) +c = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] a = 0
wo liegt mein Denkfehler!
Viele liebe Grüße
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a=0 wäre ja ein denkbares Ergebnis und, vom bisherigen Zwischenstand ausgehend, auch das richtige. Dann wäre eben b=-c und a=0, es bleibt ein Parameter (b oder c), und das nennt man linear abhängig.
Bei einer Probe zeigt sich aber ein Fehler - für die x- und y-Komponente stimmts noch, für z nicht mehr.
Du hast in der ersten Gleichung ein Minuszeichen "geschlabbert".
Außer der Nullgleichung bleiben:
a + b - c = 0
a + 3b + 3c = 0
Daraus erhältst du b=-2c, a=3c.
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Danke für deine Hilfe aber wie machst du die gegenprobe bei:
a = 3*c
b = (-2)*c
a* [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 1} [/mm] + b* [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 3} [/mm] + c* [mm] \vektor{-1 \\ -2 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
einfach einsetzten, es ist schon spät und erst als ich es aufgeschrieben habe ist mir der gedanke gekommen, hatte wohl ein Brett vor dem Kopf! :) Ich hoffe ihr verzeiht mir !
Liebe Grüße!
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Einfach einsetzen...
Aber halt!
Was steht denn nun im dritten Vektor ganz oben, +1 oder -1?
Ich bleibe mal bei der ursprünglichen +1 und setze ein, hier zeilenweise:
1) a+b-c = 3c-2c-c = 0
2) 2a+2b-2c = 6c-4c-2c = 0
3) a+3b+3c = 3c-6c+3c = 0
Probe ok 
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