Lineare inhomogene DGL 1. Ord < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Fr 27.05.2005 | | Autor: | martin99 |
Ich habe die Aufgabe folgende DGL zu lösen:
2y'+y=2sin(2t)+cos(2t)
Ich habe mal die Homogene Lösung durch Trennen der Variablen durchgeführt und y=C*e^(-t/2) erhalten.
Jetzt bin ich beim Schritt "Variation der Konstanten".
Könnte mir jemand bitte ein Kochrezept für "Nicht-Mathematiker" geben wie man dabei forgeht?
Ich studiere berufsbegleitend an einer FH und habe von Mathe leider relativ wenig Ahnung.
Bitte um Hilfe
Martin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Ich habe mal die Homogene Lösung durch Trennen der
> Variablen durchgeführt und y=C*e^(-t/2) erhalten.
>
> Jetzt bin ich beim Schritt "Variation der Konstanten".
>
> Könnte mir jemand bitte ein Kochrezept für
> "Nicht-Mathematiker" geben wie man dabei forgeht?
´
Hier ist die Konstante von t abhängig:
[mm]y(t)\; = \;c(t)\;e^{ - \frac{t}{2}} [/mm]
Dann ist y'(t):
[mm]y'(t)\; = \;c'(t)\;e^{ - \frac{t}{2}} \; - \;\frac{1}{2}\;c(t)\;e^{ - \frac{t}{2}} [/mm]
Nun wird der Ansatz in die DGL eingesetzt:
[mm]
\begin{array}{l}
2\;\left( {c'(t)\;e^{ - \frac{t}{2}} \; - \;\frac{1}{2}\;c(t)\;e^{ - \frac{t}{2}} } \right)\; + \;c(t)\;e^{ - \frac{t}{2}} \; = \;2\;\sin \;2t\; + \;\cos \;2t \\
\Rightarrow \;2\;c'(t)\;e^{ - \frac{t}{2}} \; = \;2\;\sin \;2t\; + \;\cos \;2t \\
\Leftrightarrow \;c'(t)\; = \;\frac{1}{2}\;e^{\frac{t}{2}} \;\left( {2\;\sin \;2t\; + \;\cos \;2t} \right) \\
\end{array}[/mm]
Auf beiden Seiten integrieren und dann die allgemeine Lösung der DGL bestimmen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Sa 28.05.2005 | | Autor: | martin99 |
Erstmals danke für die rasche Antwort.
Aber wie komme ich auf:
$ [mm] y'(t)\; [/mm] = [mm] \;c'(t)\;e^{ - \frac{t}{2}} \; [/mm] - [mm] \;\frac{1}{2}\;c(t)\;e^{ - \frac{t}{2}} [/mm] $
Ist es immer so dass ich die Funktion die ich als homogene Lösung ermittelt habe auf diese Art und Weise weiterverarbeite:
$ [mm] y'(t)\; [/mm] = [mm] \;c'(t)\;e^{ - \frac{t}{2}} \; [/mm] $ minus Ableitung der homogenen Lösung?
Bitte um Hilfe
LG
Martin
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Aber wie komme ich auf:
$ [mm] y'(t)\; [/mm] = [mm] \;c'(t)\;e^{ - \frac{t}{2}} \; [/mm] - [mm] \;\frac{1}{2}\;c(t)\;e^{ - \frac{t}{2}} [/mm] $
--> indem man die homogene Lösung ermittelt, aus dieser die Konstante wegstreicht und stattdessen eine Funktion C(x) einsetzt. Diesen ganzen Ausdruck leitest Du dann einmal ab und erhälst den obigen Ausdruck, wobei dort [mm] y_{p}' [/mm] (t) und nicht y(t) stehen muss, weil y(t) schon die gesamte Lösung ist und und oben die Ableitung der partikülären Lösung steht. Das heißt du hast dann [mm] y_{p}(t) [/mm] und [mm] y_{p}'(t) [/mm] ermittelt. Diese setzt Du dann wieder in die ursprüngliche Gleichung anstelle von y(t)' und y(t) ein und erhälst die partikuläre Lösung der DGL. Das Ergebnis ist dann immer
y(t) [mm] =y_{h}+y_{p}.
[/mm]
Gruß Kruder77
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Sa 28.05.2005 | | Autor: | martin99 |
Vielen Dank -> jetzt ist mir das Procedere klar.
LG
Martin
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