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| Aufgabe | Für welche [mm] \alpha [/mm] element der Reellen Zahlen sind [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ \alpha }, \pmat{ \alpha \\ 0 \\ 1 },\pmat{ \alpha \\ 1 \\ 1+ \alpha }
[/mm]
linear unabhängig? |
Mit dem Determinantenverfahren habe ich bereits als Determinante D = 0 errechnet. Das bedeutet ja das lineare abhängigkeit vorliegt.
Nun komme ich nicht mehr weiter:
Ich habe dann eine Gleichung aufgestellt:
[mm] k_1 \pmat{ 0 \\ 1 \\ \alpha }+ k_2 \pmat{ \alpha \\ 0 \\ 1 }+ k_3\pmat{ \alpha \\ 1 \\ 1+ \alpha } =\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
Und diese dann anschließend in 3 Gleichungen aufgespalten:
(I) [mm] k_2 \alpha [/mm] + [mm] k_3 \alpha [/mm] = 0
(II) [mm] k_1 [/mm] + [mm] k_3 [/mm] = 0
(III) [mm] k_1 \alpha [/mm] + [mm] k_2 [/mm] + [mm] k_3 [/mm] (1 + [mm] \alpha) [/mm] = 0
Stimmt der Ansatz bis hierhin? und was muss ich dann weiter tun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Mo 03.12.2012 | | Autor: | Walde |
hi julia,
> Für welche [mm]\alpha[/mm] element der Reellen Zahlen sind [mm]\pmat{ 0 \\ 1 \\ \alpha }, \pmat{ \alpha \\ 0 \\ 1 },\pmat{ \alpha \\ 1 \\ 1+ \alpha }[/mm]
>
> linear unabhängig?
> Mit dem Determinantenverfahren habe ich bereits als
> Determinante D = 0 errechnet. Das bedeutet ja das lineare
> abhängigkeit vorliegt.
Da weiß ich jetzt nicht was du meinst. Die Determinante von welcher Matrix hast du berechnet? Von der aus den Vektoren oben? Kommt für jedes [mm] \alpha [/mm] Null raus? Dann hättest du ja schon deine Antwort und musst nicht mehr weiter machen.
>
> Nun komme ich nicht mehr weiter:
> Ich habe dann eine Gleichung aufgestellt:
>
> [mm]k_1 \pmat{ 0 \\ 1 \\ \alpha }+ k_2 \pmat{ \alpha \\ 0 \\ 1 }+ k_3\pmat{ \alpha \\ 1 \\ 1+ \alpha } =\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> Und diese dann anschließend in 3 Gleichungen
> aufgespalten:
>
> (I) [mm]k_2 \alpha[/mm] + [mm]k_3 \alpha[/mm] = 0
> (II) [mm]k_1[/mm] + [mm]k_3[/mm] = 0
> (III) [mm]k_1 \alpha[/mm] + [mm]k_2[/mm] + [mm]k_3[/mm] (1 + [mm]\alpha)[/mm] = 0
>
>
> Stimmt der Ansatz bis hierhin? und was muss ich dann
> weiter tun?
Das ist der Ansatz aus der Schule, um auf lin. Unabh. zu prüfen, ist soweit in Ordnung. Du weißt doch sicher, wann dann lin.Unabh. gilt? Wenn es nur [mm] k_1=k_2=k_3=0 [/mm] als Lösung des Gleichungssystems gibt. Die Frage ist jetzt, für welche [mm] \alpha [/mm] das so ist. Versuch einfach mal das ganze wie immer aufzulösen.
Falls du durch irgendwas mit [mm] \alpha [/mm] dividierst oder mit irgendwas mit [mm] \alpha [/mm] multiplizierst, musst du halt sicherstellen, dass das mit Null nicht erlaubt ist, da muss man evtl. eine Fallunterscheidung machen.
LG walde
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Also irgendwie komm ich da nicht so recht weiter.
(III) Ist doch unabhängig von [mm] k_3 [/mm] erfüllt wenn [mm] \alpha [/mm] = -1 oder?
zum 1. Teil meiner Frage:
Ich habe die Vektoren als Matrix geschrieben und die Determinante errechnet, wobei 0 rauskommt, was ja heißt dass sie linear abhängig ist.
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Hallo,
> Also irgendwie komm ich da nicht so recht weiter.
> (III) Ist doch unabhängig von [mm]k_3[/mm] erfüllt wenn [mm]\alpha[/mm] =
> -1 oder?
nein, da hast du offensichtlich unerlaubterweise die Variablen [mm] k_1 [/mm] und [mm] k_2 [/mm] zusammengefasst.
>
> zum 1. Teil meiner Frage:
> Ich habe die Vektoren als Matrix geschrieben und die
> Determinante errechnet, wobei 0 rauskommt, was ja heißt
> dass sie linear abhängig ist.
Ja, das ist richtig. Was aber bedeutet es für das ursprüngliche Problem?
Gruß, Diophant
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Das heißt ja dass das Gleichungssystem dann nicht eindeutig lösbar ist.
Oben wurde ja gesagt, dass ich dann schon fertig mit der Aufgabe wäre, nur mir ist irgendwie nicht so recht klar warum.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:53 Di 04.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Das heißt ja dass das Gleichungssystem dann nicht
> eindeutig lösbar ist.
> Oben wurde ja gesagt, dass ich dann schon fertig mit der
> Aufgabe wäre, nur mir ist irgendwie nicht so recht klar
> warum.
Wenn das LGS
$ [mm] k_1 \pmat{ 0 \\ 1 \\ \alpha }+ k_2 \pmat{ \alpha \\ 0 \\ 1 }+ k_3\pmat{ \alpha \\ 1 \\ 1+ \alpha } =\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] $
nicht eindeutig lösbar ist, so gibt es eine Lösung [mm] (k_1,k_2,k_3) \ne [/mm] (0,0,0)
FRED
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Ich komme aber irmmmer noch nicht drauf wie ich diese [mm] \alpha [/mm] rausbekomme :(
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Hallo,
> Ich komme aber irmmmer noch nicht drauf wie ich diese
> [mm]\alpha[/mm] rausbekomme :(
vielleicht arbeistest du die Definition der Linearen Unabhängigkeit nochmals durch?
Es ist ja so, dass die Determinate unabhängig von [mm] \alpha [/mm] gleich Null ist. Und in der höheren Mathematik ist es halt nicht immer so, dass man für eine Variable einen festen Wert ausrechnet...
Gruß, Diophant
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Ich stehe wirklich auf dem Schlauch bei dieser Aufgabe. Könnte mir vlt jemand nen Ansatz geben wie ich auf die Lösung kommen kann..
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Hallo Julia,
Du hast die Antwort schon ganz am Anfang selbst gefunden.
> Ich stehe wirklich auf dem Schlauch bei dieser Aufgabe.
> Könnte mir vlt jemand nen Ansatz geben wie ich auf die
> Lösung kommen kann..
Du hast doch die Determinante berechnet und ermittelt, dass die - ganz unabhängig von [mm] \alpha [/mm] - immer Null ist.
Das heißt, dass die drei Vektoren für kein [mm] \alpha [/mm] linear unabhängig sind. Und das ist die Lösung der Aufgabe.
Man kann das übrigens auch ohne Determinante leicht zeigen:
[mm] \vektor{0\\1\\ \alpha}+\vektor{\alpha\\0\\1}=\vektor{\alpha\\1\\1+\alpha}
[/mm]
Das heißt auch: Du kannst kein [mm] \alpha [/mm] ermitteln.
Grüße
reverend
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