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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Di 30.11.2010 | | Autor: | sqrt25 |
| Aufgabe | Zeige: Die Funktionen f, g, h [mm] \in \IR [/mm] f(x) = 1-cos(x)-sin(x), g(x) = 1-cos(4x) und
h(x) = sin(3x)
sind in [mm] \IR [/mm] linear unabhängig. |
Wie diese Aufgabe zu lösen ist, ist mir prinzipiell klar.
Ich wähle:
a*f(x)+b*g(x)+c*h(x)=0 mit a,b,c [mm] \in \IR [/mm] (I)
Dann wähle ich beliebig drei verschiedene x in [mm] \IR, [/mm] setze diese in (I) ein, erhalte dann drei Gleichungen mit drei Unbekannten, sodass ich a,b,c bestimmen kann. Sofern die Funktionen linear unabhängig sind, gilt dann: a=b=c=0.
Ich habe nun beliebig gewählt:
"Beliebig" heißt für mich z.B. auch x gleich null. Dann verschwindet die gesamte Gleichung (I). In diesem Fall könnte ich also meine a,b,c doch beliebig verschieden von null wählen und die Bedingung (I) ist trotzdem erfüllt.
Anders formuliert, ich wähle [mm] x_1=\Pi/2, x_2=\Pi, x_3=0 [/mm] und erhalte zwei Gleichunge mit drei Unbekannten, da für [mm] x_3 [/mm] die letzte Gleichung verschwindet. Demnach wären dann die Funktionen linear abhängig.
Stimmt meine Folgerung?
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> Zeige: Die Funktionen f, g, h [mm]\in \IR[/mm] f(x) =
> 1-cos(x)-sin(x), g(x) = 1-cos(4x) und
> h(x) = sin(3x)
> sind in [mm]\IR[/mm] linear unabhängig.
> Wie diese Aufgabe zu lösen ist, ist mir prinzipiell klar.
> Ich wähle:
> a*f(x)+b*g(x)+c*h(x)=0 mit a,b,c [mm]\in \IR[/mm] (I)
>
> Dann wähle ich beliebig drei verschiedene x in [mm]\IR,[/mm] setze
> diese in (I) ein, erhalte dann drei Gleichungen mit drei
> Unbekannten, sodass ich a,b,c bestimmen kann. Sofern die
> Funktionen linear unabhängig sind, gilt dann: a=b=c=0.
>
> Ich habe nun beliebig gewählt:
> "Beliebig" heißt für mich z.B. auch x gleich null. Dann
> verschwindet die gesamte Gleichung (I). In diesem Fall
> könnte ich also meine a,b,c doch beliebig verschieden von
> null wählen und die Bedingung (I) ist trotzdem erfüllt.
>
> Anders formuliert, ich wähle [mm]x_1=\Pi/2, x_2=\Pi, x_3=0[/mm] und
> erhalte zwei Gleichunge mit drei Unbekannten, da für [mm]x_3[/mm]
> die letzte Gleichung verschwindet. Demnach wären dann die
> Funktionen linear abhängig.
>
> Stimmt meine Folgerung?
Hallo,
nein, die Folgerung stimmt nicht.
Die Frage ist ja, ob aus af+bg+ch=Nullfunktion folgt, daß a=b=c=0.
Was bedeutet denn af+bg+ch=Nullfunktion? Es handelt sich um die Gleichheit von Funktionen.
Die rechte und die linke Seite sind gleich, wenn sie an jeder Stelle des Definitionsbereiches übereinstimmen,
wenn also gilt:
af(x)+bg(x)+ch(x)=0 für alle [mm] x\in \IR
[/mm]
Wenn Du nun drei verschiedene [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] findest, für welche das GS
[mm] af(x_1)+bg(x_1)+ch(x_1)=0
[/mm]
[mm] af(x_2)+bg(x_2)+ch(x_2)=0
[/mm]
[mm] af(x_3)+bg(x_3)+ch(x_3)=0
[/mm]
nur die Lösung a=b=c=0 hat, dann sind die drei Funktionen linear unabhängig, denn die Tatsache, daß u.a. (neben vielen anderen) diese drei Gleichungen gleichzeitig gelten müssen, macht, daß es keine anderen Lösungen geben kann.
Wenn Du nun drei Wertee [mm] x_i [/mm] findest, für welche das entsprechende GS eine nichttriviale Lösung hat, sind wir so schlau wie zuvor: wir wissen ja nicht, wozu uns die vielen anderen Gleichungen zwingen - es sei denn, man kann beweisen, daß af(x)+bg(x)+ch(x)=0 wirklich für alle [mm] x\in \IR [/mm] gilt.
Du bist bisher so schlau wie zuvor und könntest versuchen, "bessere" Stellen des Definitionsbereiches zu finden.
Ein anderer Lösungsweg kann über die Betrachtung der Ableitungen von af+bg+ch=Nullfunktion führen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Di 30.11.2010 | | Autor: | sqrt25 |
Danke, ich hab's verstanden ;)
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