Lineare Unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] F(\IR,\IR):=\{f|f: \IR \mapsto \IR\} [/mm] der Vektorraum aller reellwertigen Funktionen auf [mm] \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass die Teilmenge [mm] \{x \mapsto x-1, x \mapsto x^2+7x+3\} [/mm] von [mm] F(\IR,\IR) [/mm] linear unabhängig ist. |
Hallo zusammen,
Allgemeiner Ansatz
Für [mm] \alpha_{1},\alpha_{2} \in \IR:
[/mm]
[mm] \alpha_{1}(x-1)+\alpha_{2}(x^2+7x+3)=0 [/mm] für [mm] \alpha_{1}=\alpha_{2}=0
[/mm]
Wie zeige ich das nun?
Wenn ich normal ausmultipliziere erhalte ich eben links Ausdrücke mit [mm] \alpha_{1}und [/mm] x und rechts mit [mm] \alpha_{2}und [/mm] x bzw [mm] x^2...wie [/mm] kann ich das nun zeigen?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Mi 24.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm ein beliebiges [mm] \alpha_1,\alpha_2 \ne [/mm] 0 für wieviele x maximal ist dann die Gl richtig. für wieviele müsste sie richtig sein?
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:07 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Theoretix |
Hallo,
Man „sieht“ ja eig, dass sie nur für [mm] \alpha 1=\alpha [/mm] 2= 0 richtig ist, aber wie kann ich das mathematisch begründen? Wenn ich ein [mm] \alpha [/mm] 1, [mm] \alpha [/mm] 2 ungleich Null nehme kann man beide nicht zu 0 kombinieren, aber muss ich das noch beweisen (vllt sogar mittels induktion?)
„sehen“ wird nicht reichen.
Gruß
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> Sei [mm]F(\IR,\IR):=\{f|f: \IR \mapsto \IR\}[/mm] der Vektorraum
> aller reellwertigen Funktionen auf [mm]\IR.[/mm] Zeigen Sie, dass
> die Teilmenge [mm]\{x \mapsto x-1, x \mapsto x^2+7x+3\}[/mm] von
> [mm]F(\IR,\IR)[/mm] linear unabhängig ist.
> Hallo zusammen,
>
> Allgemeiner Ansatz
>
> Für [mm]\alpha_{1},\alpha_{2} \in \IR:[/mm]
>
>
> [mm]\alpha_{1}(x-1)+\alpha_{2}(x^2+7x+3)=0[/mm] für
> [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=0[/mm]
Hallo,
dieser "allgemeine Ansatz" ist Kokolores.
Es sit wichtig, daß man die Definitionen genau verwendet, nich so [mm] \pi\times [/mm] Daumen.
Du hast zwei Funktionen [mm] f_1, f_2 [/mm] mit
[mm] :\IR \to \IR [/mm] mit
[mm] f_1(x):=x-1
[/mm]
[mm] f_2(x):=x^2+7x+3.
[/mm]
Zeigen sollst Du nun, daß [mm] (f_1, f_2) [/mm] linear unabhängig ist.
Dazu ist zu zeigen, daß aus
[mm] \alpha_1f_1+\alpha_2f_2= [/mm] Nullfunktion folgt, daß [mm] \alpha_1=\alpha_2=0 [/mm] gilt.
Rechts und links stehen Funktionen. Wann sind zwei Funktionen gleich?
Wenn sie an jeder Stelle übereinstimmen.
Also mußt Du prüfen, ob aus
[mm] \alpha_1f_1(x)+\alpha_2f_2(x)= [/mm] 0 für alle x folgt, daß [mm] \alpha_1=\alpha_2=0 [/mm] gilt.
Sei also für alle x
[mm] $\alpha_{1}(x-1)+\alpha_{2}(x^2+7x+3)=0$ [/mm] .
Weil es für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt, gilt es insbesondere für zwei beliebige x, die Du Dir aussuchen kannst, etwa [mm] x=\pi [/mm] und [mm] x=e^{\wurzel{2}}. [/mm] (Oder Du suchst Dir zwei freundlichere aus.)
Du bekommst ein GS mit zwei Variablen, welches Dir dann die [mm] \alpha_i [/mm] schenkt.
Gruß v. Angela
> Wie zeige ich das nun?
>
> Wenn ich normal ausmultipliziere erhalte ich eben links
> Ausdrücke mit [mm]\alpha_{1}und[/mm] x und rechts mit [mm]\alpha_{2}und[/mm]
> x bzw [mm]x^2...wie[/mm] kann ich das nun zeigen?
>
> Gruß
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