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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Do 18.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Seien K ein Körper,V ein K-Vektorraum und [mm] v_{1},v_{2},v_{3} \in [/mm] V.Man beweise folgende Aussagen.
[mm] 1.v_{1},v_{2} [/mm] sind genau dann linear unabhängig,wenn [mm] v_{1} \not=0 [/mm] und [mm] v_{2} \not\in K*v_{1}.
[/mm]
2. [mm] v_{1},v_{2},v_{3} [/mm] sind genau dann linear unabhängig,wenn [mm] v_{1} \not=0 [/mm] , [mm] v_{2} \not\in K*v_{1} [/mm] und [mm] v_{} \not\in Lin_{K}\{v_{1},v_{2}\}.
[/mm]
Dabei ist [mm] K*v_{1}=\{\lambda*v_{1};\lambda \in K\} [/mm] und [mm] Lin_{K}\{v_{1},v_{2}\} [/mm] die lineare Hülle von [mm] v_{1},v_{2}. [/mm] |
Hallo,
ich habe versucht die Aussagen 1 und 2 zu beweisen und würde gern wissen,ob das so richtig ist.
1.Ich hab es mit dem Widerspruchsbeweis versucht.
Seien [mm] v_{1}=0 [/mm] und [mm] v_{2} \in \lambda*v_{1}.Dann [/mm] gilt:
[mm] r*0+s*v_{2}=0 \Rightarrow r*0+\lambda*s*0=0.
[/mm]
Daraus folgt ja,dass [mm] v_{1},v_{2} [/mm] linear unabhängig sind.Das sehe ich zwar,aber wie schreibe ich das formal richtig auf?
2.Seien [mm] v_{1}=0 [/mm] und [mm] v_{2} \in \lambda*v_{1}, v_{2} \in Lin_{K}\{v_{1},v_{2}\}.
[/mm]
Zwischenfrage: Es ist doch [mm] Lin_{K}\{v_{1},v_{2}\}=\{\lambda_{1}*v_{1}+\lambda_{2}*v_{2}\} [/mm] oder? Dann gilt:
[mm] r*v_{1}+s*v_{2}+t*v_{3}=0. [/mm] Daraus folgt:
[mm] r*0+s*\lambda*0+t*(\lambda_{1}*v_{1}+\lambda_{1}*v_{2})=0
[/mm]
[mm] r*0+s*\lambda*0+t*(\lambda_{1}*0+\lambda_{1}*0)=0
[/mm]
Hier sieht man wieder die lineare Abhängigkeit.Mein Problem ist aber wieder,dass ich nicht weiß,wie ich das genau aufschreibe.
Vielen Dank
lg
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Huhu,
du hast bei beiden zum einen jeweils nur eine Richtung bewiesen, du musst aber jeweils zwei Nutzen.
Zum anderen ist deine Negation falsch.
Schau dir das nochmal an, aber die Idee ist gut für die Hinrichtung bei 1.)
Für die Rückrichtung vermutlich auch.
Tu dir (und uns) aber einen Gefallen und schreibe zum Einen immer hin, welche Richtung du gerade beweisen willst und welche Voraussetzungen daher gerade gelten.
Dann schreibe hin, was du zeigen willst und was das bedeutet.
Dann hast du es auch automatisch formal richtig hingeschrieben.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Huhu,
>
> du hast bei beiden zum einen jeweils nur eine Richtung
> bewiesen, du musst aber jeweils zwei Nutzen.
> Zum anderen ist deine Negation falsch.
Welche Negation meinst du?
> Schau dir das nochmal an, aber die Idee ist gut für die
> Hinrichtung bei 1.)
> Für die Rückrichtung vermutlich auch.
Ich fange mal von neu an:
1.
Hinrichtung:"Sind [mm] v_{1}, v_{2} [/mm] linear unabhängig,dann ist [mm] v_{1} \not=0 [/mm] und [mm] v_{2} \not\in K*v_{1}.
[/mm]
Beweis:
[mm] r*v_{1}+s*v_{2}=0 [/mm] --> r=s=0. (Das ist die Voraussetzung)
Jetzt muss [mm] v_{1} \not=0 [/mm] und [mm] v_{2} \not\in K*v_{1} [/mm] gelten,denn andernfalls könnte man für [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] jede andere beliebige Zahl einsetzen und die Gleichung würde erfüllt werden und die beiden Vektoren linear abhängig.
(Ist das so inhaltlich und formal korekkt?)
Zurückrichtung:"Sind [mm] v_{1} \not=0 [/mm] und [mm] v_{2} \not\in K*v_{1}, [/mm] so sind [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] linear unabhängig.
[mm] Beweis:r*v_{1}+s*v_{2}=0. [/mm] Sind nun [mm] v_{1} \not=0 [/mm] und [mm] v_{2} \not\in K*v_{1},dann [/mm] müssen r und s=0 sein.
Ist das so in Ordnung?
lg
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Huhu,
> Welche Negation meinst du?
Du wolltest doch einen Beweis durch Widerspruch führen, d.h. du hast angenommen, dass
NICHT gilt [mm]v_{1} \not=0[/mm] und [mm]v_{2} \not\in K*v_{1}.[/mm]
Das war bei dir angeblich [mm] $v_1 [/mm] = 0$ und [mm] $v_{2} \in K*v_{1}$.
[/mm]
Das ist aber falsch, negiere die Aussage oben mal korrekt.
> [mm]r*v_{1}+s*v_{2}=0[/mm] --> r=s=0. (Das ist die Voraussetzung)
> Jetzt muss [mm]v_{1} \not=0[/mm] und [mm]v_{2} \not\in K*v_{1}[/mm]
> gelten,denn andernfalls könnte man für [mm]v_{1}[/mm] und [mm]v_{2}[/mm]
> jede andere beliebige Zahl einsetzen und die Gleichung
> würde erfüllt werden und die beiden Vektoren linear
> abhängig.
>
> [mm]Beweis:r*v_{1}+s*v_{2}=0.[/mm] Sind nun [mm]v_{1} \not=0[/mm] und [mm]v_{2} \not\in K*v_{1},dann[/mm]
> müssen r und s=0 sein.
du hast beide male nur in Worten hingeschrieben, was du zeigen sollst. Das ist kein Beweis.
Die Idee mit dem Beweis durch Widerspruch war schon nicht schlecht, du musst es nur sauber ausführen.
Du musst jetzt nur noch jeweils hinkriegen, das Gegenteil jeweils korrekt hinzuschreiben und das zum Widerspruch zu führen.
MFG,
Gono.
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> Huhu,
>
> > Welche Negation meinst du?
>
> Du wolltest doch einen Beweis durch Widerspruch führen,
> d.h. du hast angenommen, dass
> NICHT gilt [mm]v_{1} \not=0[/mm] und [mm]v_{2} \not\in K*v_{1}.[/mm]
> Das
> war bei dir angeblich [mm]v_1 = 0[/mm] und [mm]v_{2} \in K*v_{1}[/mm].
> Das
> ist aber falsch, negiere die Aussage oben mal korrekt.
Achso, korrekt negiert wäre das doch: [mm] v_{1}=0 [/mm] oder [mm] v_{2} \in K*v_{1} [/mm] ?
Also ich will zuerst die Hinrichtung zeigen,also folgendes:"Sind [mm] v_{1}, v_{2} [/mm] linear unabhängig,so ist [mm] v_{1} \not=0 [/mm] und [mm] v_{2} \not\in K*v_{1}.
[/mm]
Beweis: Laut Vor. gilt: [mm] r*v_{1}+s*v_{2}=0 [/mm] --> r=s=0.
Jetzt muss ich zeigen,dass [mm] v_{1} \not=0 [/mm] und [mm] v_{2} \not\in K*v_{1}.
[/mm]
Und genau hier ist mein Problem,ich weiß dass das so ist,habs ja oben erklärt, aber wie schreibe ich das ohne einen Text, sondern mathematisch richtig auf?
Kann ich das hier auch mit einem Widerspruchsbeweis machen?
Dann könnte ich sagen: Angenommen es gilt [mm] v_{1}=0 [/mm] oder [mm] v_{2} \in K*v_{1}.
[/mm]
Fall1: [mm] v_{1}=0 [/mm] und [mm] v_{2} \not\in K*v_{1}
[/mm]
Dann gilt: [mm] r*0+s*v_{2}=0. [/mm] Dies ist offensichtlich linear abhängig,aber wie schreibe ich das auf?
Fall2: [mm] v_{1} \not=0 [/mm] und [mm] v_{2} \in K*v_{1} [/mm]
[mm] r*v_{1}+s*v_{2}=0, [/mm] also [mm] r*v_{1}+s*\lambda*v_{1}=0.
[/mm]
Kann ich sagen,dass [mm] \lambda=0 [/mm] sein darf?
Jetzt die andere Richtung,also:"Wenn [mm] v_{1} \not=0 [/mm] und [mm] v_{2} \not\in K*v_{1},dann [/mm] sind [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] linear unabhängig.
Beweis durch Widerspruch:
Angenommen es gilt [mm] v_{1}=0 [/mm] oder [mm] v_{2} \in K*v_{1}
[/mm]
Fall1: Sei [mm] v_{1}=0, v_{2} \not\in K*v_{1}.Dann [/mm] gilt:
[mm] r*0+s*v_{2}=0.
[/mm]
Das ist linear abhängig,aber wie schreibe ich das richtig hin?
Fall 2: Sei [mm] v_{1} \not=0, v_{2} \in K*v_{1}.Dann [/mm] gilt:
[mm] r*v_{1}+s*\lambda*v_{1}=0
[/mm]
Das ist linear abhängig,wenn [mm] \lambda=0 [/mm] ist.Darf ich das sagen?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Lenzo |
Hallo Mandy, hier mein bescheidener Versuch, Dir zu helfen. !Bin auch neu!
Du sagtes doch:
>Laut Vor. gilt: [mm] r\cdot{}v_{1}+s\cdot{}v_{2}=0 [/mm] --> r=s=0.
>Fall1: [mm] v_{1}=0 [/mm] und [mm] v_{2} \not\in K\cdot{}v_{1} [/mm]
>Dann gilt: [mm] r\cdot{}0+s\cdot{}v_{2}=0. [/mm] Dies ist offensichtlich linear abhängig,aber wie >schreibe ich das auf?
Naja, ist denn hier r=0 zwingend? Dann schreibe die og Gleichung hin und schreibe, dass auch andere r gehen. DAS ist dann dein Widerspruch.
>Fall2: [mm] v_{1} \not=0 [/mm] und [mm] v_{2} \in K\cdot{}v_{1} [/mm]
>[mm] r\cdot{}v_{1}+s\cdot{}v_{2}=0, [/mm] also [mm] r\cdot{}v_{1}+s\cdot{}\lambda\cdot{}v_{1}=0. [/mm]
>Kann ich sagen,dass [mm] \lambda=0 [/mm] sein darf?
Wäre ungünstig, denn dann hättest Du [mm] r\cdot{}v_{1}+0=0. [/mm] und somit für r nur eine Lösung, die du aber nicht willst! Es muss doch gelten:
[mm] r\cdot{}v_{1}=-(s\cdot{}\lambda\cdot{}v_{1}) [/mm] oder? Was heißt das für [mm]\lambda\[/mm] und s???
>Jetzt die andere Richtung,also:"Wenn $ [mm] v_{1} \not=0 [/mm] $ und $ [mm] v_{2} >\not\in K\cdot{}v_{1},dann [/mm] $ sind $ [mm] v_{1} [/mm] $ und $ [mm] v_{2} [/mm] $ linear >unabhängig.
>
>Beweis durch Widerspruch:
>Angenommen es gilt $ [mm] v_{1}=0 [/mm] $ oder $ [mm] v_{2} \in K\cdot{}v_{1} [/mm] $
NEIN! Vergleiche nochmal mit dem oberen Widerspruchsbeweis! Hier soll sich was anderes widersprechen. Sprich, du sollst was anderes annehmen.
Schönen Gruß
Lenzo
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Lenzo,erstmal Danke für deine Hilfe,
> Du sagtes doch:
> >Laut Vor. gilt: [mm]r\cdot{}v_{1}+s\cdot{}v_{2}=0[/mm] --> r=s=0.
>
> >Fall1: [mm]v_{1}=0[/mm] und [mm]v_{2} \not\in K\cdot{}v_{1}[/mm]
> >Dann
> gilt: [mm]r\cdot{}0+s\cdot{}v_{2}=0.[/mm] Dies ist offensichtlich
> linear abhängig,aber wie >schreibe ich das auf?
> Naja, ist denn hier r=0 zwingend? Dann schreibe die og
> Gleichung hin und schreibe, dass auch andere r gehen. DAS
> ist dann dein Widerspruch.
Genau das mein ich doch.Ich hab nicht gesagt,dass r=0 sein muss ;)
> >Fall2: [mm]v_{1} \not=0[/mm] und [mm]v_{2} \in K\cdot{}v_{1}[/mm]
> >[mm] r\cdot{}v_{1}+s\cdot{}v_{2}=0,[/mm]
> also [mm]r\cdot{}v_{1}+s\cdot{}\lambda\cdot{}v_{1}=0.[/mm]
> >Kann ich sagen,dass [mm]\lambda=0[/mm] sein darf?
> Wäre ungünstig, denn dann hättest Du [mm]r\cdot{}v_{1}+0=0.[/mm]
> und somit für r nur eine Lösung, die du aber nicht
> willst! Es muss doch gelten:
> [mm]r\cdot{}v_{1}=-(s\cdot{}\lambda\cdot{}v_{1})[/mm] oder? Was
> heißt das für [mm]\lambda\[/mm] und s???
Dann ist [mm] \lambda*s=-r, [/mm] aber was bringt mir das?
> >Beweis durch Widerspruch:
> >Angenommen es gilt [mm]v_{1}=0[/mm] oder [mm]v_{2} \in K\cdot{}v_{1}[/mm]
>
> NEIN! Vergleiche nochmal mit dem oberen Widerspruchsbeweis!
> Hier soll sich was anderes widersprechen. Sprich, du sollst
> was anderes annehmen.
Achso,hier muss ich dann zuerst voraussetzen,dass [mm] v_{1} \not=0 [/mm] und [mm] v_{2} \not\in K\cdot{}v_{1}.Dann [/mm] nehme ich an,dass [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] linear abhängig sind.Dies führt aber zu einem Widerspruch.
So richtig?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Lenzo |
> > >Fall2: [mm]v_{1} \not=0[/mm] und [mm]v_{2} \in K\cdot{}v_{1}[/mm]
> > >[mm] r\cdot{}v_{1}+s\cdot{}v_{2}=0,[/mm]
> > also [mm]r\cdot{}v_{1}+s\cdot{}\lambda\cdot{}v_{1}=0.[/mm]
> > >Kann ich sagen,dass [mm]\lambda=0[/mm] sein darf?
> > Wäre ungünstig, denn dann hättest Du [mm]r\cdot{}v_{1}+0=0.[/mm]
> > und somit für r nur eine Lösung, die du aber nicht
> > willst! Es muss doch gelten:
> > [mm]r\cdot{}v_{1}=-(s\cdot{}\lambda\cdot{}v_{1})[/mm] oder? Was
> > heißt das für [mm]\lambda\[/mm] und s???
> Dann ist [mm]\lambda*s=-r,[/mm] aber was bringt mir das?
Deine Widerspruchsannahme war doch lin. unabh., oder?
> Achso,hier muss ich dann zuerst voraussetzen,dass [mm]v_{1} \not=0[/mm]
> und [mm]v_{2} \not\in K\cdot{}v_{1}.Dann[/mm] nehme ich an,dass
> [mm]v_{1}[/mm] und [mm]v_{2}[/mm] linear abhängig sind.Dies führt aber zu
> einem Widerspruch.
> So richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> > > >Fall2: [mm]v_{1} \not=0[/mm] und [mm]v_{2} \in K\cdot{}v_{1}[/mm]
> > >
> >[mm] r\cdot{}v_{1}+s\cdot{}v_{2}=0,[/mm]
> > > also [mm]r\cdot{}v_{1}+s\cdot{}\lambda\cdot{}v_{1}=0.[/mm]
> > > >Kann ich sagen,dass [mm]\lambda=0[/mm] sein darf?
> > > Wäre ungünstig, denn dann hättest Du [mm]r\cdot{}v_{1}+0=0.[/mm]
> > > und somit für r nur eine Lösung, die du aber nicht
> > > willst! Es muss doch gelten:
> > > [mm]r\cdot{}v_{1}=-(s\cdot{}\lambda\cdot{}v_{1})[/mm] oder?
> Was
> > > heißt das für [mm]\lambda\[/mm] und s???
> > Dann ist [mm]\lambda*s=-r,[/mm] aber was bringt mir das?
>
> Deine Widerspruchsannahme war doch lin. unabh., oder?
Ja,aber kann ich nicht sagen,dass [mm] \lambda*s=0 [/mm] sein kann?
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 23.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Mo 22.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 So 21.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | b) $ [mm] v_{1},v_{2},v_{3} [/mm] $ sind genau dann linear unabhängig,wenn $ [mm] v_{1} \not=0 [/mm] $ , $ [mm] v_{2} \not\in K\cdot{}v_{1} [/mm] $ und $ [mm] v_{3} \not\in Lin_{K}\{v_{1},v_{2}\}. [/mm] $
Dabei ist $ [mm] K\cdot{}v_{1}=\{\lambda\cdot{}v_{1};\lambda \in K\} [/mm] $ und $ [mm] Lin_{K}\{v_{1},v_{2}\} [/mm] $ die lineare Hülle von $ [mm] v_{1},v_{2}. [/mm] $ |
Ich hab mal die b) versucht.
Erstmal die Hinrichtung:
"Sind [mm] v_{1},v_{2},v_{3} [/mm] linear unabhängig,so sind $ [mm] v_{1} \not=0 [/mm] , [mm] v_{2} \not\in K\cdot{}v_{1} [/mm] und [mm] v_{} \not\in Lin_{K}\{v_{1},v_{2}\}. [/mm]
Voraussetzung: Sind [mm] v_{1},v_{2},v_{3} [/mm] linear unabhängig.
Angenommen,es gilt nicht [mm] v_{1} \not=0 [/mm] , [mm] v_{2} \not\in K\cdot{}v_{1} [/mm] und [mm] v_{3} \not\in Lin_{K}\{v_{1},v_{2}\}. [/mm]
Ich weiß nicht genau wie ich das negieren,eigentlich hab ich dann fünf verschiedene Negationen:
[mm] 1.v_{1}=0 [/mm] , [mm] v_{2} \not\in K\cdot{}v_{1} [/mm] und [mm] v_{3} \not\in Lin_{K}\{v_{1},v_{2}\}. [/mm]
[mm] 2.v_{1} \not=0 [/mm] , [mm] v_{2} \in K\cdot{}v_{1} [/mm] und [mm] v_{3} \not\in Lin_{K}\{v_{1},v_{2}\}. [/mm]
[mm] 3.v_{1} \not=0 [/mm] , [mm] v_{2} \not\in K\cdot{}v_{1} [/mm] und [mm] v_{3} \in Lin_{K}\{v_{1},v_{2}\}. [/mm]
[mm] 4.v_{1} \not=0 [/mm] , [mm] v_{2} \in K\cdot{}v_{1} [/mm] und [mm] v_{3} \not\in Lin_{K}\{v_{1},v_{2}\}. [/mm]
[mm] 5.v_{1}=0 [/mm] , [mm] v_{2} \in K\cdot{}v_{1} [/mm] und [mm] v_{3} \in Lin_{K}\{v_{1},v_{2}\}. [/mm]
Welche stimmt denn nun? Oder muss ich alle fünf Fälle durchgehen?
lg
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> b) [mm]v_{1},v_{2},v_{3}[/mm] sind genau dann linear
> unabhängig,wenn [mm]v_{1} \not=0[/mm] , [mm]v_{2} \not\in K\cdot{}v_{1}[/mm]
> und [mm]v_{3} \not\in Lin_{K}\{v_{1},v_{2}\}.[/mm]
>
> Dabei ist [mm]K\cdot{}v_{1}=\{\lambda\cdot{}v_{1};\lambda \in K\}[/mm]
> und [mm]Lin_{K}\{v_{1},v_{2}\}[/mm] die lineare Hülle von
> [mm]v_{1},v_{2}.[/mm]
> Ich hab mal die b) versucht.
>
> Erstmal die Hinrichtung:
> "Sind [mm]v_{1},v_{2},v_{3}[/mm] linear unabhängig,so sind $ [mm]v_{1} \not=0[/mm]
> , [mm]v_{2} \not\in K\cdot{}v_{1}[/mm] und [mm]v_{} \not\in Lin_{K}\{v_{1},v_{2}\}.[/mm]
Hallo,
die Aussage
[mm] "$v_{1},v_{2},v_{3}$ [/mm] linear unabhängig ==> [mm] $v_{1} \not=0$
[/mm]
und [mm] $v_{2} \not\in K\cdot{}v_{1}$ [/mm] und [mm] $v_{3} \not\in Lin_{K}\{v_{1},v_{2}\}$ [/mm] "
ist äquivalent zu ihrer Kontraposition
[mm] "$v_{1} [/mm] =0$
oder [mm] $v_{2} \in K\cdot{}v_{1}$ [/mm] oder [mm] $v_{3} \in Lin_{K}\{v_{1},v_{2}\}$ [/mm] ==> [mm] v_{1},v_{2},v_{3}$ [/mm] nicht linear unabhängig",
welche Du stattdessen zeigen kannst.
Gruß v. Angela
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